Теория вероятностей

Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

1. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

1) равна k-1;

2) не превосходит k;

3) больше l-2.

Решение:

Учитывая, что k=9, l=12 находим, что:

1) Событию «количество выпавших очков равно 9-1=8» способствуют исходы (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) всего 5 из 36 возможных и равновероятных, значит вероятность этого события составляет:

2) Событию «количество выпавших очков не превосходит 9» способствуют исходы (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4) всего 27 из 36 возможных и равновероятных, значит вероятность этого события составляет:

3) Событию «количество выпавших очков превосходит 10» способствуют исходы (5;6), (6;5), (6;6) всего 3 из 36 возможных и равновероятных, значит вероятность этого события составляет:

В ящике находится k гвоздей, (l-2) шурупов и m болтов. Наудачу выбирают одну деталь. Найдите вероятность того, что достали

2. В ящике находится k гвоздей, (l-2) шурупов и m болтов. Наудачу выбирают одну деталь. Найдите вероятность того, что достали:

1) гвоздь;

2) шуруп;

3) болт.

Решение:

Учитывая, что k=9, l=12, m=7 находим, что в ящике находится 9 гвоздей, 10 шурупов и 7 болтов. Вероятность, что достали:

1) гвоздь:

2) шуруп:

3) болт:

По объекту произвели запуск трех ракет. Вероятность попадания в объект первой ракеты – 0,k, второй -0,n, третьей – 0,l. Найдите вероятность того, что в объект попали

5. По объекту произвели запуск трех ракет. Вероятность попадания в объект первой ракеты – 0,k, второй – 0,n, третьей – 0,l. Найдите вероятность того, что в объект попали:

1) все три ракеты;

2) не более двух ракет;

3) хотя бы одна ракета.

Решение:

Учитывая, что k=9, n=8, l=12 находим что вероятность попадания в объект первой ракеты – 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,12. Эти события независимы. Отсюда:

1) Вероятность попадания всех трех ракет составляет:

2) Вероятность попадания не более двух ракет. Это событие противоположно событию «попали все три ракеты»:

3) Вероятность события «в цель попала хотя бы одна ракета». Это событие противоположно событию «не попала ни одна ракета»:

Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0, n. Найдите вероятность того, что

6. Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,n. Найдите вероятность того, что:

1) будет два попадания;

2) будет не менее трех попаданий.

Решение:

Учитывая, что n=8 находим что вероятность попасть в цель при одном выстреле равна p=0,8.

1) Используя формулу Бернулли находим:

где q – вероятность не попасть в цель, q=1-p=0,2.

Для условий задачи имеем:

2) Вероятность события «будет не менее трех попаданий» равна сумме вероятностей событий «будет три попадания» и «будет четыре попадания»:

В первой урне (n+3) белых и k черных шаров, во второй – m белых и (n+2) черных. Из каждой урны взяли по одному шару. Найти вероятность того, что

7. В первой урне (n+3) белых и k черных шаров, во второй – m белых и (n+2) черных. Из каждой урны взяли по одному шару. Найти вероятность того, что:

1) оба шара белые;

2) оба шара черные;

3) шары разных цветов.

Решение:

Учитывая, что k=9, m=7, n=8 находим, что в первой урне 11 белых и 9 черных шаров, во второй – 7 белых и 10 черных.

Вероятности достать из каждой из урн шар определенного цвета составляют:

1) Вероятность, что оба шара белые:

2) Вероятность, что оба шара черные:

3) Вероятность что шары разноцветные:

Имеется три ящика с деталями, в которых соответственно (n+8) стандартных и (k-2) бракованных, (l+5) стандартных и (n+1) бракованных, (m+3) стандартных и k бракованных. Из наудачу взятого ящика выбрана деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется стандартной?

8. Имеется три ящика с деталями, в которых соответственно (n+8) стандартных и (k-2) бракованных, (l+5) стандартных и (n+1) бракованных, (m+3) стандартных и k бракованных. Из наудачу взятого ящика выбрана деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется стандартной?

Решение:

Учитывая, что k=9, l=12, m=7, n=8 находим, что в ящиках находится соответственно: 16 стандартных и 7 бракованных, 17 стандартных и 9 бракованных, 10 стандартных и 9 бракованных.

Поскольку ящик выбирается случайным образом, то вероятность, что деталь окажется стандартной, составляет:

где Р(1), Р(2), Р(3) – вероятность, что деталь взята из 1-го, 2-го, 3-го ящика, соответственно, эти события несовместны, равновероятны и образуют полную группу, каждая из этих вероятностей равняется ⅓;

Р1(А), Р2(А), Р3(А) – вероятность, что взятая из первого, второго, третьего ящика является стандартной.

Для условий задачи имеем:

Монета бросается l раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не менее (l-4) и не более (l-2) раз.

10. Монета бросается l раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не менее (l-4) и не более (l-2) раз.

Решение:

Учитывая, что l=12 находим, что осуществляется 12 бросков монеты, и необходимо найти вероятность выпадения орла в количестве испытаний от 8 до 10.

Фактически это означает выпадение орла в 8, 9 или 10 случаях из 12. Учитывая, что вероятность выпадения орла в каждом испытании составляет 0,5, воспользуемся формулой Бернулли:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью p=0,k. Опыт повторяют в неизменных условиях 100n раз. Определите вероятность того, что при этом

11. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью p=0,k. Опыт повторяют в неизменных условиях 100n раз. Определите вероятность того, что при этом:

1) событие A произойдет от 25n до 90n раз;

2) событие A произойдет в меньшинстве опытов; (от 0 до 50n-1);

3) событие A произойдет в большинстве опытов.

Решение:

Учитывая, что k=9, n=8 находим, что вероятность появления события А при одиночном испытании составляет p=0,9 и общим количеством испытаний 800.

В задаче нужно найти вероятность следующих количеств исходов А:

1) от 200 до 720;

2) от 0 до 399;

3) от 401 до 800.

Для определения вероятностей воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

1)

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Найдем значение функции Лапласа для этих значений:

Искомая вероятность:

2)

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Найдем значение функции Лапласа для этих значений:

Искомая вероятность:

3)

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Найдем значение функции Лапласа для этих значений:

Искомая вероятность:

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X.

12. Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей: X n n+2 n+5 n+k+1 P 0,1 0,2 0,5 0,2

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X.

Решение:

Учитывая, что k=9, n=8 находим закон распределения дискретной случайной величины X 8 10 13 18 P 0,1 0,2 0,5 0,2 Математическое ожидание дискретной случайной величины составляет:

Дисперсия дискретной случайной величины составляет:

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины составляет:

Напишите плотность распределения вероятности и схематично постройте ее график

13. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно m, ее среднее квадратичное отклонение σ=l-3. Выполните следующие задания:

1) напишите плотность распределения вероятности и схематично постройте ее график;

2) найдите вероятность того, что X примет значения из интервала (α,β), где α=m-1, β=m+1.

Решение:

Учитывая, что l=12, m=7 находим, что математическое ожидание 7, среднее квадратическое отклонение σ=12-3=9.

1) Плотность распределения вероятности:

Схематично ее график имеет вид:

2) Интервал имеет вид (7-1;7+1)=(6;8).

Вероятность что величина Х:


Способ заказа и контакты