Математические модели в естественных науках

Пусть требуется определить закон роста дерева любой породы в предположении, что растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие.

Пусть требуется определить закон роста дерева любой породы в предположении, что растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие. Это означает, что любой линейный размер, к примеру, высота дерева,однозначно определяет его геометрические характеристики. Итак, обозначим х=x(t) высоту дерева, которая изменяется со временем. Заметим, что в силу сделанного предположения площадь зеленой части дерева и его объем пропорциональны соответственно квадрату и кубу высоты, а масса дерева пропорциональна объему. Уравнение для изменения величины x(t) составим исходя из уравнения баланса энергии. При составлении уравнения баланса используем следующие соображения. Свободная эненргия Е0 образуется путем фотосинтеза в зеленой части растения, и ее величина пропорциональна площади поверхности зеленой части дерева. Эта энергия расходуется на: 1. процесс фотосинтеза (количество энергии Е1); 2. транспортировку питательного раствора во все части растения (количество энергии Е2). Этот расход будет пропорционален объему растения и высоте, поскольку транспортировка связана с преодолением силы тяжести; 3. увеличение массы (рост) растения (количество энергии Е3). Считая, что выполняется закон сохранения эненргии, получаем, что расход энергии равен ее поступлению, то есть Е0=Е1+Е2+Е3 – это и есть уравнение баланса. Задача 1. Используя сделанные предположения, выразить Еi через x(t) и получить дифференциальное уравнение для величины x(t). Найти решение полученного уравнения. Найти положение равновесия x(t)≡х* для этого уравнения. Что будет происходить с деревом, если его начальная высота равна х*? Больше х*? Меньше х*? И почему? Решение: Выразим слагаемые энергетического баланса через x(t) в явном виде: '' '' ''0( '' '' '')= '' '' ''(x(t))2; '' '' ''0( '' '' '')= '' '' ''(x(t))2; '' '' ''2( '' '' '')= '' '' ''(x(t))3·x(t)= '' '' ''(x(t))4; '' '' ''3( '' '' '')= '' '' '' '' '' ''(x(t))3 '' '' ''t=3 '' '' ''(x(t))2 '' '' ''x(t) '' '' ''t, где a, b, c, d – коэффициенты пропорциональности (точные значения несущественны для выражений аналитического вида, и не ясны из условия). Запишем уравнение баланса: '' '' ''(x(t))2= '' '' ''(x(t))2+ '' '' ''(x(t))4+3 '' '' ''(x(t))2 '' '' ''x(t) '' '' ''t. Сократим это уравнение на (x(t))2 и получим дифференциальное уравнение первого порядка: '' '' ''= '' '' ''+ '' '' ''(x(t))2+3 '' '' '' '' '' ''x(t) '' '' ''t; 3 '' '' '' '' '' ''x(t) '' '' ''t+ '' '' ''(x(t))2+( '' '' ''− '' '' '')=0. Для нахождения положения равновесия приравняем производную от высоты по времени нулю: '' '' ''x(t) '' '' ''t=0; 3 '' '' ''·0+ '' '' ''x∗2+( '' '' ''− '' '' '')=0; '' '' ''x∗2+( '' '' ''− '' '' '')=0; x∗=√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''. Если начальная высота равна х* – энергия, затрачиваемая на рост будет равна нулю, то есть дерево не будет расти. Высота будет оставаться постоянной, поскольку вся полученная энергия расходуется на фотосинтез и транспортировку. Если начальная высота больше х*, то: 3 '' '' '' '' '' ''x(t) '' '' ''t=−( '' '' ''(x(t))2+( '' '' ''− '' '' ''))< '' '' ''x∗2+( '' '' ''− '' '' '')=0, то есть сумма затрат энергии на осуществление фотосинтеза и транспортировку будет превышать поступление энергии. Масса дерева будет уменьшаться. Если предполагать сохранение геометрического подобия, по дерево будет уменьшатся (в реальности это может быть выражено в виде усыхания части ветвей). Если начальная высота меньше х*, то: 3 '' '' '' '' '' ''x(t) '' '' ''t=−( '' '' ''(x(t))2+( '' '' ''− '' '' ''))> '' '' ''x∗2+( '' '' ''− '' '' '')=0, то есть сумма затрат энергии на осуществление фотосинтеза и транспортировку будет меньше поступление энергии. Масса дерева будет увеличиваться. Дерево будет расти. Задача 2. Найти предел x(t) при t→+∞. Построить графики функций x(t), dx(t)/dt. Сделать вывод о характере изменения высоты дерева со временем. Решение: Для этого решим полученное в предыдущей задаче дифференциальное уравнение: 3 '' '' '' '' '' ''x(t) '' '' ''t+ '' '' ''(x(t))2+( '' '' ''− '' '' '')=0. Из первой задачи мы знаем одно частное решение: x(t)≡x∗=√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''. Произведем подстановку: x(t)=x∗+ '' '' ''( '' '' ''); 3 '' '' '' '' '' ''(x∗+ '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+ '' '' ''(x∗+ '' '' ''( '' '' ''))2+( '' '' ''− '' '' '')=0; 3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+ '' '' ''(x∗2+2·x∗· '' '' ''( '' '' '')+ '' '' ''( '' '' '')2)+( '' '' ''− '' '' '')=3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+ '' '' ''( '' '' ''− '' '' '' '' '' ''+2·√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''· '' '' ''( '' '' '')+ '' '' ''( '' '' '')2)+( '' '' ''− '' '' '')=3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+ '' '' ''(2·√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''· '' '' ''( '' '' '')+ '' '' ''( '' '' '')2)=3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''· '' '' ''( '' '' '')+ '' '' '' '' '' ''( '' '' '')2=0; 3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''· '' '' ''( '' '' '')=− '' '' '' '' '' ''( '' '' '')2. Это уравнение Бернулли. С помощью подстановки '' '' ''( '' '' '')=1/ '' '' ''( '' '' '') преобразуем его к линейному дифференциальному уравнению: 3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' ''))−1 '' '' ''t+2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' '' '' '' ''( '' '' '')=− '' '' '' '' '' ''( '' '' '')2; −3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' ''))( '' '' ''( '' '' ''))2 '' '' ''t+2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' '' '' '' ''( '' '' '')=− '' '' '' '' '' ''( '' '' '')2; −3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t+2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' '' '' '' ''( '' '' '')=− '' '' ''; 3 '' '' '' '' '' ''( '' '' ''( '' '' '')) '' '' ''t−2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '' '' '' ''( '' '' '')= '' '' ''3 '' '' ''. Решаем методом интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель: '' '' ''( '' '' '')=exp∫(−2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '') '' '' '' '' '' '' = '' '' ''1exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' ''). Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(t) преобразует ее в производную произведения z(t)u(t). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: '' '' ''=∫ '' '' ''( '' '' '') '' '' ''3 '' '' '' '' '' '' '' '' ''+ '' '' ''2 '' '' ''( '' '' '')=∫ '' '' ''1exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '') '' '' ''3 '' '' '' '' '' '' '' '' ''+ '' '' ''2 '' '' ''1exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')=∫exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '') '' '' ''3 '' '' '' '' '' '' '' '' ''+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')=exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '') '' '' ''3 '' '' ''(−2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')= '' '' ''3 '' '' ''(−2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')= '' '' ''−2·√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')=−√ '' '' ''( '' '' ''− '' '' '')2+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' ''), где C2, C − произвольные постоянные. Производим обратные замены: '' '' ''( '' '' '')=1 '' '' ''( '' '' '')=1−√ '' '' ''( '' '' ''− '' '' '')2+ '' '' ''exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')=exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')−exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')√ '' '' '' '' '' ''− '' '' ''2+ '' '' ''. x(t)=x∗+ '' '' ''( '' '' '')=√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''+exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')−exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')√ '' '' '' '' '' ''− '' '' ''2+ '' '' ''. Отсюда предел x(t) при t→+∞: limt→+∞x(t)=limt→+∞(x∗+ '' '' ''( '' '' ''))=limt→+∞( √ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''+exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')−exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')√ '' '' '' '' '' ''− '' '' ''2+ '' '' '') =√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''+limt→+∞( exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')−exp(−2· '' '' ''√( '' '' ''− '' '' '') '' '' ''3 '' '' '')√ '' '' '' '' '' ''− '' '' ''2+ '' '' '') =√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''+0=√ '' '' ''− '' '' '' '' '' ''. Для построения графиков выберем произвольные значения для коэффициентов: '' '' ''=2, '' '' ''= '' '' ''=1, '' '' ''=13, '' '' ''=−10, тогда зависимость высоты от времени примет вид: x(t)=√2−11+exp(−2· '' '' ''√(2−1)13·13)−exp(−2· '' '' ''√(2−1)13·13)√12−12−10=1+exp(−2 '' '' '')−exp(−2 '' '' '')12−10. Первая производная высоты от времени (скорость роста): x′(t)=(1+exp(−2 '' '' '')−exp(−2 '' '' '')12−10)′=(exp(−2 '' '' '')−exp(−2 '' '' '')12−10)′=(exp(−2 '' '' ''))′(−exp(−2 '' '' '')12−10)−(exp(−2 '' '' ''))(−exp(−2 '' '' '')12−10)′(exp(−2 '' '' '')12+10)2=−2(exp(−2 '' '' ''))(−exp(−2 '' '' '')12−10)−2(exp(−2 '' '' ''))(−exp(−2 '' '' '')12)(exp(−2 '' '' '')12+10)2=−(exp(−2 '' '' ''))(−exp(−2 '' '' '')−20)+(exp(−2 '' '' ''))(exp(−2 '' '' ''))(exp(−2 '' '' '')12+10)2=2(exp(−2 '' '' ''))2+20(exp(−2 '' '' ''))(exp(−2 '' '' '')12+10)2=2exp(−4 '' '' '')+20(exp(−2 '' '' ''))(exp(−2 '' '' '')12+10)2. Строим графики: Высоты Скорости ее изменения Как видно из графиков, вначале происходит интенсивный рост, но при приближении высоты к положению равновесия (х=1 ед., практически неотличимо уже при t=2) его скорость стремительно падает. y=1+exp(-2*x)/(-exp(-2*x)/2-10); x>0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t x(t) y=(2*exp(-4*x)+20*exp(-2*x))/((-exp(-2*x)/2-10)^2); x>0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 t dx(t)/dt

Математическая модель региональной экономики

Пусть К – основной капитал (фонды), N – число работников, участвующих в производственном процессе экономической системы региона. Введем переменные производственного процесса μК и gN, где μ – доля выбывших за год основных производственных фондов, g – средний годовой доход одного работника. Пусть Y – региональный продукт (далее ВРП), измеряемый в стоимостном исчислении. Для безразмерных параметров А=μКgN,С=YgN введем нормирующие множители 1/В и С∞ соответственно, так что '''=АВ, '''( ''')= ''' '''∞⁄. Взаимосвязь между этими величинами представим производственной функцией вида: '''( ''')= '''(1− '''− ''')+(1− ''')(1− '''−1 '''⁄)(1) с параметром b. Таким образом, ВРП выражается через функцию f(x) следующим образом: '''= ''' ''' '''∞ '''( ''').(2) С точки зрения математического моделирования региональная экономическая система отличается от экономической системы страны тем, что модель макроэкономики региона нельзя рассматривать как замкнутую, когда инвестиции и потребление полностью определяются объемом произведенной продукции. ВРП за вычетом полного объема изъятий с рассматриваемой территории определяет только часть региональных инвестиций и потребления. Необходимо рассматривать процесс воспроизводства основного капитала региона также с учетом капитальных расходов бюджетов всех уровней (федерального, регионального, муниципальных бюджетов региона), финансовых потоков естественных монополий на территории (отраслевое финансирование) и из других источников. Рассмотрим модель суммарного финансирования капитальных расходов региона федеральной бюджетной системой, естественными монополиями на территории и из других источников. За основу модели возьмем схему бюджетной системы РФ. Пусть Q – полный объем налоговых изъятий на рассматриваемой территории, QF, QR, QM – налоги, поступающие в федеральный региональный, муниципальный бюджеты региона соответственно. Введем величины '''1= ''' ''' '''⁄, '''2= ''' ''' '''⁄, '''3= ''' ''' ''' ⁄и пропорции v1, v2 возврата средств в порядке перераспределения расходов в долях от уровня доходов нижестоящих бюджетов, рассчитанные как увеличивающие коэффициенты. Поступления в региональный и местный бюджеты от естественных монополий на территории по аналогии с бюджетным регулированием выразим через пропорции ''' ''' ''' ''' ''', ''' ''' ''' ''' ''' в долях от уровня налоговых поступлений регионального и местного бюджетов. Поступления от других источников (внебюджетной системы и внеотраслевого финансирования) также выразим через пропорции ''' ''' ''', ''' ''' ''' в долях от уровня налоговыъх поступлений регионального и местного бюджетов. Введем также параметры Δ= ''' '''⁄ – уровень налогового бремени региона, s – норму накопления, определяемую организаторами производственного процесса. Тогда для суммарных инвестиций I и фонда непроизводственного потребления W можно записать: '''= ''' ''' '''= ''' ''' ''' ''' '''∞ '''( '''); (3) '''= ''' ''' '''= ''' ''' ''' ''' '''∞ '''( '''), (4) где функция В(х) определяется формулой (1), а коэффициенты сi, cω равны: ''' '''=(1−Δ) '''+ ''' ''', ''' '''=(1−Δ)(1− ''')+ ''' ''',(5) где ''' '''= ''' ''' (1+ '''1+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''2− '''2 '''3 + ''' '''(1+ '''2+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''3 Δ; ''' '''= (1− ''' ''') (1+ '''1+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''2− '''2 '''3 +(1− ''' ''')(1+ '''2+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''3 Δ, где ''' ''' и ''' ''' – доли капитальных расходов регионального и местного бюджетов. Как нетрудно убедиться, коэффициенты ci, cω удовлетворяют уравнению: ''' '''+ ''' '''= ''', (6) где '''=(1−Δ)+ (1+ '''1+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''2+(1+ '''2+ ''' ''' ''' ''' '''+ ''' '''0) '''3 Δ. Анализ показывает, что q≈1. Рассмотрим теперь математическую модель макроэкономики региона на основе производственной В(х)-функции в относительных безразмерных переменных: '''= ''' ''' ''' ''' '''; '''= ''' ''' '''; '''= ''' ''' '''; '''= ''' ''' '''. (7) Примем следующие допущения. 1. Производственный процесс описывается функцией (1). 2. Изменение основного капитала в единицу времени определяется инвестициями и износом за единицу времени: ''' ''' ''' '''= '''− ''' '''. (8) 3. Изменение в единицу времени численности работников, участвующих в производственном процессе, определяется уравнением: 1 '''· ''' ''' ''' '''= ''', (9) где v– постоянная, определяющая годовой темп прироста числа занятых за счет демографических процессов. 4. Изменение среднегодового дохола одного работника в единицу времени определяется уравнением: 1 '''· ''' ''' ''' '''= ''', (10) где τ – годовой темп прироста среднегодового дохода одного работника. Продифференцировав первое соотношение (7) по времени и используя равенства (8), (9), (10), для переменной x(t), t≥0, получаем основное уравнение модели: ''' ''' ''' '''= ''' '''( ''')− ''' ''', (11) где '''= ''' ''' '''і '''∞, '''= '''+ '''+ '''. Начальное условие для уравнения (11) имеет вид: '''(0)= '''1= ''' ''' '''(0) '''(0) '''(0)>0. (12) Из определения I, ω, y следует: '''= ''' ''' '''∞ '''( '''), '''= ''' ''' '''∞ '''( '''), '''= '''∞ '''( '''). (13) Очевидно, эти переменные, как и х, являются функциями времени. Итоговая модель описывается системой уравнений (1), (11), (12), (13), однако заметим, что вся динамика определяется задачей Коши для переменной x(t) (поэтому она и названа основной). Задача 1. Вывести уравнение (11). Показать, что при условии положительности величин a, λ неравенство λМатематическая модель взаимодействия природы и загрязненияВариант 20. Математическая модель взаимодействия природы и загрязнения Взаимодействие «загрязнение-природа» можно в первом приближении трактовать как конкуренцию двух видов – классический вариант взаимодействия биологических видов, изучаемый в различных предположениях в математической биологии. Термины «загрязнение» и «природа» могут быть интерпретированы в каждом конкретном случае по-своему. Например, под загрязнением можно понимать выбросы промышленного предприятия, заболачивание, вырубку лесов и многое другое. В любом случае загрязнение оказывает отрицательное влияние на окружающую среду. С другой стороны, окружающая среда, в свою очередь, абсорбирует и перерабатывает загрязнение до некоторого предела. Из качественных соображений возможны три качественно различных сценария рассматриваемого взаимодействия. 1. При малых выбросах загрязнения окружающая среда полностью его перерабатывает; 2. При увеличении выбросов загрязнения в зависимости от внешний условий, случайных возмущений и неучтенных в модели факторов окружающая среда может «выживать» в условиях наличия загрязнений, а может и погибнуть; 3. Экологическая катастрофа — полное вымирание окружающей среды. Математически первый и третий сценарий соответствуют наличию в системе глобально устойчивого равновесия (притягивающего все решения системы), а второй – наличию двух устойчивых равновесий (бистабильная ситуация), одно из которых может быть условно названо «устойчивое очищение», а второе - «устойчивое загрязнение» Перейдем к построению модели. Предположим, что общий фон загрязнения и состояние окружающей среды можно характеризовать следующими переменными: концентрацией загрязнения N1 и плотностью биомассы N2 соответственно. В случае наличия постоянного источника загрязнения динамику его концентрации без учета влияния окружающей среды можно описать уравнением ' = ' − , где а – мощность источника загрязнения в единицу времени, b – скорость естественного распада загрязнения.

Способ заказа и контакты