MathCAD

Подготовка методических указаний по применению метода наименьших квадратов (МНК) в виде dос-файла.

Содержание задания

Подготовить документ с методическими указаниями по применению метода наименьших квадратов на основе следующего материала:

http:// vorks.tarefer.ru/50/100013/idex.html

Содержание работы

Документ сохранен в версии Word 2003 (с расширением doc). Основной шрифт - Times New Roman, размер 12 pt.

Помимо текста, файл содержит таблицы, рисунки, графические изображения и математические формулы.

Графики приближающих функций и точечный график по таблице построены с применением компьютерной программы, написанной на выбранном языке программирования с применением любой системы компьютерной математики (MathCAD, MatLab, Maple и т.п).

Результат выполнения задания - материалы согласно форме отчетности, описанной в методических указаниях, включая графики, расчеты и листинги программ, предоставлены в виде doc-файла.

ЗАДАНИЕ 1

Подготовка методических указаний по применению метода наименьших квадратов (МНК) в виде doc-файла

Графические изображения могут быть непосредственно вставлены в документ операциями копирование-вставка, а могут быть вставлены из файла. Для набора математических формул используем инструмент Microsoft Equation 3.0.

Далее приведем основные правила оформления математических формул, которым необходимо следовать при оформлении документа.

Для того, чтобы вставить формулу, ставим курсор в нужное место документа и нажимаем Вставка – Объект. В открывшемся окне выбираем Microsoft Equation 3.0 и нажимаем ОК.

Появляется окно, из которого мы можем выбрать любые знаки для написания формулы. Формула отличается от обычного текста наличием специальных шаблонов: дроби, квадратные корни, матрицы.

Например, верхние и нижние индексы создаются при помощи трёх верхних кнопочек этой панели:

Оформление формулы различными шрифтами

В литературе принято оформлять элементы формул следующим образом:

Названия функций — прямым шрифтом

Названия переменных — наклонным шрифтом

Названия Матриц ' жирным шрифтом и/или заглавными буквами

Названия векторов — жирным шрифтом или стрелкой сверху

Текст — прямым шрифтом.

Для этого Редактор формул имеет меню '"Стиль'"

Названия некоторых математических функций (например, «sin», «cos») автоматически распо¬знаются и пишутся прямым шрифтом, но при необходимости можно сделать это вручную. Рус¬ский текст, вставленный в формулу, нужно помечать стилем «Текст», иначе он будет написан на¬клонным шрифтом, а также может некорректно отображаться в другой версии Word (на другом компьютере). '

При наборе формул важно следить за границами используемых шаблонов, чтобы случайно не добавить внутрь шаблона лишний текст, к шаблону не относящийся.

В определении границ поможет курсор. Он состоит из двух линий: вертикальной и горизонтальной.

Русский текст, вставленный в формулу, нужно помечать стилем «Текст», иначе он будет написан наклонным шрифтом, что неверно (если, конечно, переменная не обозначается буквой «Э»):

Текст нужно оформлять стилем «текст», чтобы он не был наклонным

Границы шаблонов

При наборе формул важно следить за границами используемых шаблонов, чтобы случайно не добавить внутрь шаблона лишний текст, к шаблону не относящийся.

В определении границ шаблонов помогает курсор. Он состоит из двух линий: вертикальной и горизонтальной. Вертикальная линия показывает место, куда будет введён текст. Горизонтальная линия показывает границы текущего поля ввода.

Пример.

Допустим, вы добавили в формулу интеграл с помощью соответствующего шаблона и ввели подынтегральное выражение:

Горизонтальная линия показывает границы текущего поля ввода

Обратите внимание, что горизонтальная линия «упирается» в интеграл слева. Это означает, что вы сейчас находитесь в поле ввода подынтегрального выражения. Допустим, вы оказались невнимательны и набрали остальную часть формулы, не выйдя из подынтегрального выражения:

На первый взгляд, всё набрано правильно. Однако это не так. Допустим, вы захотите перенести сумму на новую строку. Курсор после символа «+», и нажимаете клавишу Enter:

Если символ интеграла сполз вниз, начинающему пользователю может показаться, что это ошибка. На самом деле причина в том, что теперь подынтегральное выражение состоит из двух строк, поэтому символ интеграла расположился посредине.

Неверно набранное выражение не только не разделяется на две строки, но часть формулы с интегралом также не удастся заключить в скобки. Кроме того, могут быть неверными пробелы и местоположение элементов формулы.

В данном случае, чтобы исправить ошибочно набранный шаблон, нужно вырезать лишний кусок (после символа «+» включительно) в буфер обмена и вставить этот кусок правее, за пределами подынтегрального выражения. Но проще всего было не допускать эту ошибку. Для этого достаточно нажать клавишу «вправо», чтобы курсор вышел из подынтегрального выражения:

Подобным ошибкам наиболее подвержены шаблоны с горизонтальным расположением элементов: интегралы, суммы, горизонтальные дроби. Лучше набирать их внимательно, чем потом думать, почему формула странно выглядит.

Внутритекстовые и выключные формулы

Внутритекстовая формула — вставляется прямо в текст абзаца, как слово.

В отличие от неё выключная формула помешается на отдельной строке (зачастую по центру и с номером справа).

Внутритекстовые формулы оформляются просто. Достаточно ввести пробел после слова, и нажать кнопку вставки формулы.

Набор же выключной формулы на отдельной строке не так прост: во-первых, между форму¬лой и текстом должен быть небольшой вертикальный интервал, во-вторых, выключная формула обычно располагается по центру, и имеет номер, который должен быть выровнен по правом краю.

При наборе индексов, а также числителя и знаменателя дроби, следует использовать правила внутритекстовой формулы, даже если используется выключнуя. Однако для цепных дробей следует делать исключение: все элементы набирать с помощью вертикальных дробей нормального размера.

Вот примеры правильно набранной выключной формулы:

Если в последнем примере вам не нравится оператор суммирования с индексами справа, можно разбить дробь с этим оператором на сумму двух дробей и вынести сумму из числителя, использовав шаблон с индексами сверху и снизу.

Формулы в документе

Внутритекстовые формулы оформляются просто.

Достаточно ввести пробел после слова, и нажать кнопку вставки формулы:

Набор же выключной формулы на отдельной строке не так прост: во-первых, между формулой и текстом должен быть небольшой вертикальный интервал, а во-вторых, выключная формула обычно располагается по центру и имеет номер, который должен быть выровнен по правом краю.

Пример.

Сделаем новую строку для нашей будущей формулы:

Создадим новый стиль для наших выключных формул.

Для этого нажмите Формат → Стили и форматирование:

Справа появится панель Стили и форматирование:

Если на этой панели нажать кнопку Создать стиль…, появится окно создания нового стиля:

Введите какое-нибудь осмысленное имя стиля, например, Формула. Стиль следующего абзаца выберите Обычный, это облегчит жизнь в дальнейшем. Теперь нажмите Формат → Табуляция:

Появится окно добавления табуляции. В нашем случае ширина текста составляет 16,5 см, поэтому создадим две табуляции: одну по центру (для формулы), в позиции 8,25 см., с выравниваем текста по центру; вторую — справа (для номера), в позиции 16,5 см., с выравниванием текста по правому краю:

Нам нужно не только правильно расположить формулу и её номер горизонтально, но и сделать небольшие вертикальные отступы от окружающего текста. Для этого нажмите Формат → Абзац и установите небольшие интервалы перед абзацем и после него (я поставил 6 пунктов). Обычно нет необходимости делать вертикальный интервал между формулами (если идут несколько выключных формул подряд), поэтому рекомендуется также включить галочку «Не добавлять интервал между абзацами одного стиля»:

Нажмите «OK» во всех окнах, чтобы они закрылись. Панель «Стили и форматирование» можете тоже закрыть. Теперь у нас есть новый стиль «Формула», который мы можем применять ко всем выключным формулам документа. Курсор у нас по-прежнему стои'т в строке для формулы. Применим к этой строке (абзацу) наш новый стиль, воспользовавшись меню выбора стиля:

Обратите внимание, что после выбора нового стиля абзац отодвинулся от предыдущего текста, и на линейке появились две созданные нами табуляции: по центру и по правому краю. Нажмите кнопку табуляции на клавиатуре для того, чтобы воспользоваться табуляцией по центру:

Создайте нужную вам формулу, и снова нажмите клавишу табуляции. На этот раз курсор окажется на правой границе документа:

Введите номер формулы и нажмите Enter для перехода на новую строку. Обратите внимание, что стиль абзаца автоматически сменился на Обычный; именно для этого мы и устанавливали «Стиль следующего абзаца» при создании стиля (рис.26).

После этого можете вводить остальной текст:

Созданный стиль удобно применяется двумя щелчками мыши к каждой выключной формуле документа. Если бы формула оформлялась без использования стилей, то пришлось бы повторять операции добавления табуляции и интервалов для каждой формулы документа, что очень неудобно. Более того, если вдруг понадобится оформить формулы по-другому (например, расположить их слева, а не по центру), то достаточно будет изменить стиль (заменить центральную табуляцию на обычную и расположить её слева), — и все формулы в документе сразу приобретут новое форматирование.

ЗАДАНИЕ 2

Получение аналитического выражении для скалярной функции, заданной таблично, с использованием метода наименьших квадратов

1. Постановка задачи

Пусть в результате измерений получена таблица зависимости одной величины от другой х. Необходимо найти формулу y=f(x), выражающую таблично заданную зависимость аналитически.

Применение интерполяции в данном случае нецелесообразно, т.к. значения в узлах получены экспериментально и являются сомнительными. Кроме того, совпадение значений в узлах не означает совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Нужно найти такой метод подбора эмпирической формулы, который не только позволяет найти саму формулу, но и оценить погрешность подгонки.

'Найдем функцию вида которая в точках принимает значения как можно более близкие к табличным значениям .

'Практически вид приближающей функции можно определить визуально: строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек.

По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая, гипербола, дробно-рациональная и т.д.).

Рис.1.

'Из рисунка 1 видно, что для каждого значения экспериментальное yi и расчетное yiр значения различаются на некоторую величину , называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции :

'если выполняется (1)

где , то функция f(x) подобрана наилучшим образом.

2. Линейная регрессия

'Будем искать приближающую функцию в виде:

'Абсолютная разность для определяется следующим образом:

Формулу (1) перепишем в виде:

'Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами

Задача сводится к отысканию минимума этой функции.

Используем необходимое условие экстремума:

т.е.'

'Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров и , получим конкретный вид искомой функции

Запишем выражения для искомых параметров:

'Рассчитав значение ', получим величину среднеквадратичной ошибки.

'Блок-схема расчета параметров линейной регрессии приведена на рисунке 2.

В блок-схеме используются следующие обозначения:

Приведенная блок-схема позволяет рассчитать значения параметров линейной регрессии.

ввод данных

да

нет

печать

Рис.2 '

' 3. Степенная зависимость

'

Степенная зависимость имеет вид:

y = a'xb (2)

Во всех случаях при

При в точке кривая касается оси абсцисс. Чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при

При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот.

Рис.3. График степенной зависимости.

Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем:

' '(2)

'Введем новую переменную тогда будет функцией от . Обозначим тогда равенство (3) примет вид:

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

Окончательно получаем:

' '

4. Квадратичная функция

Методом наименьших квадратов вывести формулы для параметров и и приближающей квадратичной функции:

Аппроксимирующий полином имеет вид:

'Qm(x) = ao + a1'x + ... + an'xn

Многочлен для линейного приближения имеет вид:

'f(x) = ao + a1'x '(m=1)

Многочлен для квадратичного приближения имеет вид:

'f(x) = ao + a1'x + a2'x2 (m=2)

Для нахождения коэффициентов аi используем следующие системы:

ao'So + a1'S1 = to

ao'S1 + a1'S2 = t1

ao'So + a1'S1 + a2'S2 = to

ao'S1 + a1'S2 + a2'S3 = t1

ao'S2 + a1'S3 + a2'S4 = t2

'где выражения

Sk = xok + x1k + ...+ xnk

tk = xok'yo + x1k'y1 +...+ xnk'yn

'k ' номер старшего параметра Sk.

'Блок-схема расчета параметров квадратичной функции приведена на рисунке 4.

'Сумма квадратов отклонений:

5. Задания к работе

Таблица 1 Вариант'Результаты опыта 1'x'0,0'0,5'1,0'11,5'2,0'2,5 'y'-13,65'-5,77'-0,07'6,95'12,05'18,97 'x'3,0'3,5'4,0'4,5'5,0'5,5 'y'25,67'31,57'38,44'46,20'51,33'58,83

'5.1 Строим точечный график по заданной таблице .

5.2 Рассчитаем значения параметров линейной регрессии.

5.3 Рассчитаем значения параметров степенной зависимости.

5.4 Методом наименьших квадратов выведем формулы для параметров и и приближающей квадратичной функции:

5.5 На том же чертеже строим графики рассчитанных приближающих функций.

5.6 После нахождения значений параметров каждой из приближающих функций найдем суммы квадратов абсолютных значений по формуле (1) и по их значениям установим, какое из приближений лучше.


Способ заказа и контакты