Математические основы цифровой обработки сигналов

Задана структурная схема рекурсивной цепи второго порядка. В соответствие с данными своего варианта начертите схему цепи с учетом коэффициентов аi и b' .

Таблица исходных данных '-0,2'0,9'0,03'-0,25'0,4'0,5; 0,4; 0,2

1. Исследование характеристик дискретной цепи (ДЦ)

1.1 Определите разностное уравнение цепи y(n).

1.2 Определите с помощью разностного уравнения передаточную функцию H(z) и проверьте устойчивость цепи.

1.3 Определите импульсную характеристику цепи:

- с помощью передаточной функции H(z) (для нечетных вариантов)

Построить график импульсной характеристики h(n).

Для достижения необходимой точности при вычислении импульсной характеристики надо учесть все отсчеты, значения которых превышают 10% от максимального значения .

1.4 Рассчитать амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазо-частотную характеристику (ФЧХ) цепи (с шагом ), построить графики АЧХ и ФЧХ.

1.'

Прохождение дискретного непериодического сигнала через ДЦ

На вход цепи подается непериодический сигнал .

2.1 Построить график дискретного сигнала.

2.2 Рассчитать спектр ДС с шагом . Построить амплитудный и фазовый спектр.

2.3 Определить сигнал на выходе цепи:

- по разностному уравнению (для нечетных вариантов)

Построить график выходного сигнала.

2.4 Определить спектр сигнала на выходе цепи с шагом . Построить амплитудный и фазовый спектр.

3. Квантование в цифровых системах

3.1 Определите разрядность коэффициентов и , если допуск на отклонение системных характеристик составляет 1%

3.2 Рассчитайте шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность АЦП равной 8.

3.3 Рассчитайте масштабный множитель λ на входе цепи:

а) по условию ограничения максимума сигнала;

б) по условию ограничения энергии сигнала;

в) по условию ограничения максимума усиления цепи

РАСЧЕТ

Исходные данные:

a0=-0,2; a1=0,9; a2=0,03; b1=-0,25; b2=0,4; x(n)='0,5;0,4;0,2 '

1. Исследование характеристик дискретной цепи

Известно, что дискретной цепью называют любую систему (цепь) преобразующую одну последовательность х(n) в другую последовательность y(n). Будем считать, что дискретная цепь обладает свойством линейности (выходная реакция на сумму дискретных сигналов равна сумме реакций на эти сигналы) и свойством стационарности (задержка входного дискретного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного дискретного сигнала).

Важно помнить, что:

- в схеме не указывают умножители, коэффициенты которых равны 0;

- умножители, коэффициенты которых равны 1, в схеме представляют собой короткозамкнутый проводник.

Изобразим дискретную цепь с заданными коэффициентами (см. рис. 1.1):

Рисунок 1.1 – Дискретная рекурсивная цепь второго порядка

1.1'

Разностное уравнение дискретной цепи

Если известны параметры линейной дискретной системы, то взаимосвязь между входным воздействием x(n) и реакцией y(n) описывается разностным уравнением вида:

, (1.1)

где ai, bl - коэффициенты уравнения (вещественные константы);

x(n), y(n) - воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы);

N - число прямых связей;

L - число обратных связей;

x(n-i), y(n-l) - воздействие и реакция, задержанные на i и l периодов дискретизации соответственно.

Важно помнить, что:

- разностное уравнение должно отображать все пути прохождения входного сигнала через цепь.

Запишем разностное уравнение дискретной цепи, изображенной на рис. 1.1:

(1.2)

1.2'

Определение передаточной функции цепи

Известно, что передаточной функцией Н(z) называют отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Применив z-преобразования к разностному уравнению, получим:

Тогда передаточная характеристика цепи:

(1.3)

Запишем передаточную функцию дискретной цепи, изображенной на рис.1.1:

(1.4)

Дискретная цепь является устойчивой, если полюсы ее передаточной функции лежат внутри единичной окружности z-плоскости, т.е.

(1.5)

Чтобы определить, устойчива ли дискретная цепь, показанная на рис.1.1, найдем ее полюсы. Для этого приравняем знаменатель передаточной функции к нулю:

По полученным результатам видно, что условие (1.5) выполняется, т.е. дискретная цепь является устойчивой. 1.3'

Определение импульсной характеристики цепи h(n)

Импульсной характеристикой h(n) линейной дискретной цепи называется ее реакция на дискретную дельта-функцию δ(n) при нулевых начальных условиях.

(1.6)

Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции при отсутствии воздействия.

Важно помнить, что:

- как и разностное уравнение, импульсная характеристика описывает дискретную цепь во временной области;

- определить импульсную характеристику дискретной системы можно двумя способами:

1. по разностному уравнению, решая его методом прямой подстановки;

2. по передаточной функции H(z) путем деления полинома числителя на знаменатель

- импульсная характеристика нерекурсивной цепи имеет конечную длительность, значения отсчетов равны коэффициентам разностного уравнения;

- импульсная характеристика рекурсивной цепи имеет бесконечную длительность;

- для достижения необходимой точности при вычислении импульсной характеристики надо учесть все отсчеты, значения которых превышают 10% от максимального значения .

2 способ: (для нечетных вариантов)

Импульсную характеристику дискретной цепи можно найти по передаточной функции, выполнив ее обратное z-преобразование. Обратное z-преобразование передаточной функции можно осуществить путем последовательного деления полинома числителя Н(z) на знаменатель с поочередным выделением слагаемых вида hnz-n.

Выполним деление передаточной функции Н(z):

…….

Деление осуществляем до тех пор, пока не достигнем 10% от hmax(n).

Таблица 1.1 Импульсная характеристика дискретной цепи

n'h(n) 0'-0,2 1'0,95 2'-0,2875 3'0,451875 4'-0,22797 5'0,237742 6'-0,15062 7'0,132752637 8'-0,093437378 9'0,076460399

Построим график импульсной характеристики цепи:

Рисунок 1.2 - Импульсная характеристика цепи

1.4'

Определение АЧХ и ФЧХ цепи

Частотная характеристика линейной дискретной цепи H(jω) - фурье-изображение импульсной характеристики h(n). Также выражение H(jω) можно получить из передаточной функции цепи H(z), выполнив замену zn→ejωnT.

(1.8)

Как и всякую комплексную функцию, H(jω) можно представить через модуль и аргумент

, (1.9)

где H(ω) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи,

φ(ω) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) цепи.

Для определения частотных характеристик цепи и сигнала часто применяют нормирование по частоте:

(1.10)

Запишем передаточную функцию исходной цепи H(jΩ). Согласно выражению (1.8), получим:

(1.11)

(1.12)

Амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи:

(1.13)

Фазо-частотная характеристика дискретной цепи:

(1.14)

При расчетах важно помнить, что:

Расчеты удобно свести в таблицу:

Таблица 1.2 – Частотные характеристики цепи

Ω'0'0,1'0,2'0,3'0,4'0,5'0,6'0,7'0,8'0,9'1 H(Ω)'0,73'0,7813'0,6259'0,9635'1,2937'1,07'1,2937'0,9635'0,6259'0,7813'0,73 φ(Ω)'0'58,268'86,365'-79,84'-66,61'0'66,612'79,844'-86,36'-58,27'0

Так как частотные характеристики дискретных цепей (сигналов) являются непрерывными периодически повторяющимися функциями, достаточно построить частотные характеристики только для одного периода, соответствующего ωд.

тогда

Рисунок 1.3 - АЧХ дискретной цепи

Рисунок 1.4 – ФЧХ дискретной цепи

Как видно из рисунков 1.3 и 1.4 АЧХ является непрерывной периодически повторяющейся четной функцией, а ФЧХ – непрерывной периодически повторяющейся нечетной функцией.

2. Прохождение дискретного непериодического сигнала через ДЦ

2.1 График входного дискретного сигнала

На вход дискретной цепи, показанной на рис. 1.1, подается дискретный сигнал x(n)='0,5;0,4;0,2'. Построим график x(n).

Рисунок 2.1 – Входной дискретный сигнал

2.2 Спектр дискретного сигнала

Определим спектр непериодического дискретного сигнала x(n) с помощью прямого преобразования Фурье для дискретных сигналов.

(2.1)

Спектр дискретного сигнала X(jω) - периодический, поэтому достаточно рассчитать его в диапазоне частот 0÷ωд. Расчеты будем производить также с помощью нормированной частоты Ω (см. расчет АЧХ, ФЧХ).

(2.2)

Подставив значения, получим:

Амплитудный спектр дискретного сигнала:

(2.3)

Фазовый спектр дискретного сигнала:

(2.4)

Таблица 2.1 – Спектр входного дискретного сигнала x(n)

Ω'0'0,1'0,2'0,3'0,4'0,5'0,6'0,7'0,8'0,9'1 X(Ω)'1,1'0,9823'0,6792'0,3393'0,2424'0,3'0,2424'0,3393'0,6792'0,9823'1,1 φx(Ω)'0'25,658'47,159'50,774'10,676'0'-10,68'-50,77'-47,16'-25,66'0

Рисунок 2.2 – Амплитудный спектр входного сигнала

Рисунок 2.3 – Фазовый спектр входного сигнала

2.3 Определение сигнала на выходе дискретной цепи

На вход дискретной цепи, изображенной на рис.1.1, действует дискретный непериодический сигнал x(n). Для определения сигнала на выходе дискретной цепи y(n) можно воспользоваться несколькими способами:

- по разностному уравнению ДЦ;

- по формуле линейной свертки.

Важно помнить, что число отчетов дискретного сигнала на выходе ДЦ определяется, как:

(2.5)

где

Ny - число отчетов выходного сигнала y(n);

Nx - число отчетов входного сигнала x(n);

Nh - число отчетов импульсной характеристики.

В нашем случае

Nx=3, Nh=10, поэтому Ny=3+10-1=12 отчетов.

1 способ: (для нечетных вариантов)

Найдем сигнал y(n) с помощью разностного уравнения цепи (1.2).

x(n)='0,5;0,4;0,2' - входной сигнал

Построим график выходного сигнала y(n).

Рисунок 2.4 – График выходного сигнала y(n)

2.4 Определение спектра сигнала на выходе дискретной цепи

Для нахождения спектра выходного сигнала можно было бы воспользоваться прямым преобразованием Фурье для дискретных сигналов. В случае, когда уже известны спектр входного сигнала и частотные характеристики ДЦ, рациональнее использовать теорему наложения (свертки).

(2.7)

В частности, амплитудный спектр выходного сигнала: Y(Ω)=X(Ω)•H(Ω);

фазовый спектр выходного сигнала: φy(Ω)=φx(Ω)+φh(Ω).

Сведем все расчеты в таблицу:

Таблица 2.2 - Частотные характеристики выходного сигнала

Ω'X(Ω)'φX(Ω)'H(Ω)'φh(Ω)'Y(Ω)'φy(Ω) 0'1,1'0'0,73'0'0,803'0 0,1'0,9822693'25,658'0,7813'58,268'0,7675'83,926 0,2'0,679151'47,159'0,6259'86,365'0,4251'133,52 0,3'0,3393333'50,774'0,9635'-79,84'0,327'-29,07 0,4'0,242392'10,676'1,2937'-66,61'0,3136'-55,94 0,5'0,3'0'1,07'0'0,321'0 0,6'0,242392'-10,68'1,2937'66,612'0,3136'55,936 0,7'0,3393333'-50,77'0,9635'79,844'0,327'29,07 0,8'0,679151'-47,16'0,6259'-86,36'0,4251'-133,5 0,9'0,9822693'-25,66'0,7813'-58,27'0,7675'-83,93 1.0'1,1'0'0,73'0'0,803'0

Рисунок 2.5 - Амплитудный спектр выходного сигнала

Рисунок 2.6 – Фазовый спектр выходного сигнала

3. Квантование в цифровых системах

3.1 Определение разрядности коэффициентов ДЦ

Определим разрядность коэффициентов ai и bl, если допуск на отклонение системных характеристик составляет 1%.

Важно помнить, что при выборе разрядности умножителей первоначально необходимо задавать ее не меньше чем разрядность АЦП.

Примем разрядность коэффициентов равной 9 (при дальнейших расчетах разрядность коэффициентов может быть изменена в зависимости от полученных результатов).

Представим коэффициенты в виде 9-разрядного двоичного кода. В этом случае разрядная сетка содержит один знаковый разряд и девять числовых. Запятая зафиксирована между знаковым и числовыми разрядами. Значение знакового разряда равно нулю, если коэффициент положителен, и единице в противном случае.

При квантовании чисел различают два вида ошибок: 1.'

Усечение до b разрядов - это отбрасывание младших разрядов. 2.'

Округление до b разрядов - сохранение значения этого разряда или увеличение его на 1 в зависимости от того, больше чем или меньше его отбрасываемая часть.

В дальнейшем будем считать, что при квантовании используется процедура округления.

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную необходимо последовательно умножать данную дробь на 2 (перемножая только дробные части), и выписать последовательно все целые части полученных произведений, начиная с первого. Нам при расчете необходимо получить девять числовых разрядов плюс один дополнительный для выполнения операции округления.

Итак, коэффициенты исходной ДЦ: a0=-0,2; a1=0,9; a2=0,03; b1=-0,25; b2=0,4.

Представим каждый из коэффициентов в двоичной системе счисления: a0=-0,2 ' -0,2'0,4'0,8'1,6'1,2'0,4'0,8'1,6'1,2'0,4'0,8 1'0'0'1'1'0'0'1'1'0'0

a0=1,001100110

Восстановление этого коэффициента в десятичной системе:

a0=2-3+2-4+2-7+2-8=-0,19921875

a1=0,9 ' 0,9'1,8'1,6'1,2'0,4'0,8'1,6'1,2'0,4'0,8'1,6 0'1'1'1'0'0'1'1'0'0'1

Так как дополнительный разряд содержит единицу, произведем процедуру округления:

В десятичной системе:

a1=2-1+2-2+2-3+2-6+2-7+2-9=0,900390625

a2=0,03 ' 0,03'0,06'0,12'0,24'0,48'0,96'1,92'1,84'1,68'1,36'0,72 0'0'0'0'0'0'1'1'1'1'0

a2=0,000001111; a2=2-6+2-7+2-8+2-9=0,029296875

b1=-0,25 ' -0,25'0,5'1'0'0'0'0'0'0'0'0 1'0'1'0'0'0'0'0'0'0'0

b1=1,010000000; b1=2-2=-0,25;

b2=0,4 ' 0,4'0,8'1,6'1,2'0,4'0,8'1,6'1,2'0,4'0,8'1,6 0'0'1'1'0'0'1'1'0'0'1 Так как дополнительный разряд содержит единицу, произведем процедуру округления:

b2=0,011001101; b2=2-2+2-3+2-6+2-7+2-9=0,400390625

Определим относительную погрешность при записи коэффициентов масштабирующих усилителей в 9-и разрядном двоичном коде:

(3.1)

Оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи

Импульсная характеристика для передаточной функции исходной ДЦ уже была найдена в разделе 1.3.

Определим импульсную характеристику цепи с коэффициентами, реализованными 9-разрядным двоичным кодом, и рассчитаем относительную погрешность для каждого из отсчетов h(n):

(3.2)

Расчеты сведем в таблицу:

n'h(n)'h/(n)'δh(n), % 0'-0,2'-0,19921875'0,391 1'0,95'0,950195313'0,021 2'-0,2875'-0,28801727'0,180 3'0,451875'0,452453613'0,128 4'-0,22797'-0,22843282'0,203 5'0,237742'0,23843282'0,291 6'-0,15062'-0,15102896'0,272 7'0,132752637'0,133156868'0,304 8'-0,093437378'-0,093759795'0,345 9'0,076460399'0,076754710'0,385 Таблица 3.1 Импульсная характеристика ДЦ h/(n)

Среднеквадратическая ошибка импульсной характеристики составляет:

Очевидно, что δh(n)<1%.

Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи

Относительная величина чувствительности H(z) к каждому из коэффициентов определяется по формуле

(3.3)

и показывает во сколько раз относительное уменьшение передаточной функции цепи больше относительного изменения параметра (коэффициента).

(3.4)

Наибольшее влияние на АЧХ цепи коэффициент оказывает на частоте, равной собственной частоте нуля или полюса передаточной функции H(z).

Полюсы передаточной функции H(z) были уже найдены в разделе 1.2:

zx1=-0,76969; zx2=0,51969

Найдем нули передаточной функции:

Для определения собственной частоты нуля (полюса) воспользуемся соотношениями:

•'

если , то •'

если , то •'

если , то

Определим чувствительности на каждой из частот:

:

Погрешности коэффициентов были получены ранее:

Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов составит:

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит:

Аналогичным образом определяем среднеквадратическую погрешность АЧХ на частоте, соответствующей :

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит:

Итак, исходя из допуска на отклонение системных характеристик (не более 1%), определили разрядность коэффициентов дискретной цепи равной 9.

3.2 Расчет шумов квантования на выходе ДЦ

Сигнал, поступающий в дискретную цепь, проходит через умножители, на выходе которых результат получается в виде кода (двоичного), разрядная сетка которого больше разрядной сетки и сигнала и умножителя.

Для дальнейшей его обработки длина кодового слова должна быть уменьшена до принятого в дискретной цепи размера разрядной сетки с помощью процедуры округления.

Поэтому сигнал на выходе умножителя можно представить как сумму - разрядного кодового слова и некоторого слабого сигнала (отбрасываемого в процессе округления), который можно назвать шумом округления. Будем считать, что шумы округления на выходе разных умножителей некоррелированные.

Шум каждого из умножителей некоррелирован и со входной последовательностью.

Ошибки округления e(nT) является стационарным случайным процессом с равномерным законом распределения.

Рассчитаем шумы квантования на выходе дискретной цепи, полагая разрядность АЦП равной 8. Разрядность коэффициентов дискретной цепи равна 9 (была определена в разделе 3.1).

Изобразим ДЦ со всеми источниками шума. Источниками шума в данной цепи являются АЦП и умножители:

Рисунок 3.1 – Шумовая модель дискретной цепи

где e0 – шум от АЦП;

e1…e5 – шумы от умножителей.

Определим квадрат дисперсии ошибок округления:

(3.5)

где b – длина разрядной сетки двоичного кода

дисперсия шума АЦП (b=8):

дисперсия шума коэффициентов (b=9):

В фильтрах с фиксированной запятой дисперсия шума округления на выходе от каждого из источников определяется по формуле:

, (3.6)

где hi(n) - импульсная характеристика части дискретной цепи от выхода i -го умножителя до выхода цепи.

Дисперсия результирующего шума на выходе от всех L умножителей:

(3.7)

Шумы АЦП e0, а также e1, e2, проходят до выхода ДЦ через всю цепь, импульсная характеристика которой уже была найдена в пункте 1.3. Шумы e3, e4, e5, проходят непосредственно через сумматор на выход ДЦ, передаточная функция которого H(z)=1.

:

:

Составим «шумовое уравнение» (выражение, описывающее алгоритм формирования шума на выходе). Согласно рис. 3.1:

(3.8)

Подставив в «шумовое уравнение» рассчитанные значения, получим дисперсию шума на выходе ДЦ:

В данном результате - шум от АЦП, а - шумы от коэффициентов ДЦ.

3.3 Расчет масштабного множителя на входе ДЦ

При сложении в сумматоре с фиксированной запятой ошибок округления не возникает, но возможно переполнение регистров и выходной сигнал будет существенно искажен. Для предотвращения этого сигнал на входе с помощью масштабного множителя ослабляют, но так, чтобы не слишком ухудшить соотношение сигнал/шум на выходе цепи.

I II

Рисунок 3.2 -Дискретная цепь с масштабным множителем λ

Расчет масштабного множителя λ на входе цепи производится по трем условиям:

а) по условию ограничения максимума сигнала;

б) по условию ограничения энергии сигнала;

в) по условию ограничения максимума усиления цепи

При этом расчет осуществляется по каждому сумматору в отдельности, а из полученного набора выбирают наименьшее значение, чтобы обеспечить защиту сразу обоих сумматоров.

а) Условие ограничения максимума сигнала

При расчете масштабного множителя по условию ограничения максимума сигнала перегрузки сумматора исключены, т.к. ymax(n)=1.

В этом случае

(3.9)

где hi(n) - импульсная характеристика участка ДЦ от входа до выхода i-го сумматора

Для I-го сумматора (рис. 3.2) импульсная характеристика соответствует рекурсивной части ДЦ, передаточная функция которой

(3.10)

Для II-го сумматора (рис.3.2) импульсная характеристика соответствует всей ДЦ (определена в 1.3):

тогда

Из полученных результатов выбираем наименьший, т.е. λ=0,356.

б) Условие ограничения энергии сигнала

При расчете λ, по условию ограничения энергии сигнала перегрузки сумматоров не исключены, но мало вероятны. Масштабный множитель рассчитывается из условия Wx=Wy.

(3.11)

Тогда множители для каждого из сумматоров

Выбирая наименьшее значение, получаем λ=0,835.

в) Условие ограничения усиления цепи

При расчете множителя λ по условию ограничения усиления цепи можно уменьшить вероятность частотных искажений, задавшись условием:

(3.12)

При этом максимальное значение АЧХ определяется на частоте, равной собственной частоте нуля или полюса передаточной функции H(z).

Нули и полюсы передаточной функции уже были найдены ранее. Определим значения АЧХ цепи по каждому сумматору в отдельности:

;

;

;

Из полученных значений АЧХ выбираем наибольшее значение и определяем множитель λ:

.


Способ заказа и контакты