Обратные задачи

Решение интегрального уравнения Фредгольма I рода

Решение интегрального уравнения Фредгольма I рода:

дискретный (численный) алгоритм регуляризации

Рассмотрим уравнение Фредгольма I рода:

Это уравнение может быть записано в виде Az=u с интегральным оператором , который является линейным и вполне непрерывным. Таким образом к (некорректной) задаче решения интегрального уравнения (1) можно применить метод регуляризации Тихонова.

Рассмотрим функционал:>где:

Далее индексы норм и скалярных произведений для краткости будем опускать - они понятны из контекста.

В качестве приближенного решения возьмем (можно показать, что точная нижняя грань достигается). Тогда для функции zα выполняется необходимое условие экстремума – равенство нулю производной функционала Mα. Рассмотрим приращение функционала Mα в точке zα:

Обозначим Тогда и Оставшаяся часть приращения представляет собой линейный функционал относительно h, который по определению равен дифференциалу функционала Mα. Поэтому функционал Мα дифференцируем в точке zα и необходимое условие экстремума имеет вид: или

Здесь A* – сопряженный оператор, который представляет собой интегральный оператор с ядром (проверьте, что в этом случае выполняется равенство . При этом можно показать, что произведение интегральных операторов также является интегральным оператором (проверьте!), и ядро оператора К*К определяется формулой

Непосредственно убеждаемся, что ядро симметрическое, т.е.

В результате операторное уравнение (3) может быть записано в виде:

где

Таким образом, нахождение приближенного решения уравнения (1) сводится к решению уравнения (4).

Рассмотрим численный метод построения решения уравнения (4).

Пусть правая часть уравнения (1) - функция и(х) – задана на сетке узлов:

Зададим на отрезке 'a, b' другую сетку узлов:

(обе сетки не обязательно, вообще говоря, равномерные). На второй сетке будем строить решение zα.

При переходе от непрерывной функции к вектору ее значений в узлах сетки (дискретизация задачи) интегралы аппроксимируются (приближенно заменяются) суммами, построенными с использованием некоторой квадратурной формулы.

Квадратурные формулы, используемые для численного интегрирования, различаются количеством и расположением используемых узлов на отрезке, а также коэффициентами при значениях функции в этих узлах. Таким образом, для функции, скажем, f(x), заданной на сетке отрезка 'с, d', интеграл приближенно заменяется суммой вида где рi – коэффициенты квадратурной формулы, выбираемые из тех или иных условий (одно из таких условий - обеспечить наибольшую степень многочлена, для которого значение интеграла в точности равно сумме, то есть обеспечить максимальный алгебраический порядок точности численного метода интегрирования). Наиболее простыми и распространенными являются составные формулы трапеций и Симпсона.

Для начала исходный интеграл представляется в виде суммы: (составная формула). Затем каждое слагаемое в сумме приближается выражением, содержащим значения функции f в некоторых точках отрезка. В простейшем варианте приближается выражением вида . Это произведение равно интегралу по отрезку ' ' от функции, линейной на этом отрезке и проходящей через точки с координатами ), , (при этом график интегрируемой функции представляет собой ломаную, проходящую через все точки и пересекающую в этих точках график функции f(х). Значение

равно также площади прямоугольной трапеции, вершины которой находятся в точках с координатами (хi,0), (хi+1, 0), )), поэтому описанный метод численного интегрирования получил название метода трапеций. Как видим, для вычисления интеграла от функции по отрезку при этом используется значения функции только в двух крайних точках отрезка.

В случае, когда шаг сетки постоянный, т.е. для всех выражение для суммы можно записать в более простом виде:

то есть коэффициенты квадратурной формулы равны:

Формула Симпсона использует уже три точки из отрезка интегрирования, поэтому для фиксированной сетки отрезок 'с, d' разумно разбить на отрезки вида содержащих три узла сетки (это удобно делать для нечетного числа узлов: ). Согласно формуле Симпсона, для постоянного шага h=(d-с)/l сетки квадратурная формула имеет вид:

Учитывая равенство и приводя в сумме подобные слагаемые, получим:

То есть в этом случае

Можно использовать и другие (составные) квадратурные формулы.разные

Преобразуем теперь все необходимые интегралы в суммы, используя некоторую квадратурную формулу. Тогда, полагая

получим:

где

коэффициенты рi вычисляются по формуле (6) или (7) (или другой квадратурной формуле), rj вычисляются аналогично с учетом шага сетки.

Система (8) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно чисел zk, k=1,... ,п.

Задача.

Применим рассматриваемый метод программу! к модельному примеру, позволяющему визуально наблюдать эффект применения метода регуляризации и его зависимость от параметра.

Рассмотрим функцию вида:

Пусть

так что l=161, n=137. 1.'

Используя эти данные, решить сначала прямую задачу, то есть численно найти значения правой части уравнения в узлах, используя квадратурную формулу:

Для каждого берем разные

при N>>п (берем меньший шаг, чем меньше шаг, тем больше точность вычисления; уj - точки этой «мелкой» сетки на отрезке 'a, b', сетка на 'с, d' задана выше). Для вычислений использовать программную реализацию в любой удобной программной среде.

2. Используя найденные значения иi, решаем обратную задачу. Для этого решаем систему (8), предварительно вычислив ее коэффициенты по формулам (9) и (10). Можно к значениям ui предварительно добавить малые погрешности, используя датчик случайных чисел (разумно в этом случае выбирать распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией не более 0.05). Но заметим, что и без добавления погрешностей вычисленные значения являются «зашумленными» погрешностями произведенных вычислений. 3.'

Изучить полученное в результате решение, нанеся на координатную плоскость точки (rk, zk), k=1,…,n вместе с графиком точного (заданного) решения. Рассмотреть случай α=0, а также различные значения параметра α в диапазоне 10-2 - 10-5. Способом визуального подбора выбрать наилучшее значение α, сделать вывод о влиянии α на поведение приближенного решения и его соответствие точному решению. 4.'

Оформить полученные результаты: текст программы, результаты вычислений в виде графиков при различных значениях α (вместе с графиком точного решения, позволяющим оценить точность), выводы.


Способ заказа и контакты