Уравнения математической физики

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ Курсова

1. Рівняння диференціальної геометрії. 2.

Рівняння пластин та оболонок. 3.

Крайові задачі для рівняння теплопровідності. 4.

Рівняння дифузії та фільтрації. Особливості розв’язків. 5.

Рівняння динаміки рідин та газів. 6.

Крайові задачі електро- та магнітостатики. 7.

Рівняння та крайові задачі електродинаміки. 8.

Крайові задачі електродинамічних процесів. 9.

Нелінійні рівняння електродинаміки. 10.

Перетворення координат у задачах математичної фізики. 11.

Квазілінійні та нелінійні крайові задачі. 12.

Методи інте 'ральних перетворень у задачах математичної фізики. 13.

Чисельні методи розв’язування крайових задач теплопровідності.

Розділ 1

Задачі для рівняння теплопровідності.

Постановка, методи роз’язку першої, другої та третьої крайових задач.

Приклади

Нехай Ω - обмежена область простору (х,у,z). Позначимо через Q в просторі (х,у,z,t) ціліндр, основа якого є область Ω та твірні якого паралельні осі Оt. Нехай QТ – частина цього ціліндру, обмежена знизу площиною t=0 та зверху площиною t=Т (Т>0). Частина границі ціліндру QT, що складається з його нижної основи (t=0) та бічної поверхні, позначимо через Г 1 .

Розглянемо наступну задачу: знайти в ціліндрі QT розв’язок рівняння теплопровідності

що задовільняє початковій умові

та граничній умові

де S - границя області Ω,

Р – точка поверхні S.

Функції φ та Ψ неперервні, причому значення Ψ при t=0 співпадає зі значеннями φ на границі S.

Задача знаходження розв’язку рівняння (1.1) при умовах (1.2), (1.3) називається першою крайовою задачею для рівняння теплопровідності.

Функція u(x,y,z,t), що відповідає однорідному рівнянню теплопровідності (1.1) всередині ціліндру QT та неперервна аж до його границі, приймає найбільше та найменше значнення на Г, тобто або при t=0, або на бічній поверхні ціліндру QT.

Так як теорема про мінімум зводиться до теореми про максимум зміною знаку у u(x,y,z,t), то ми обмежимось доведенням теореми про максимум.

Позначимо через М найбільше значення функції QT.в ціліндрі QT, а через m -найбільше значення QT на Г. Припустимо, що існує такий розв’язок u(x,y,z,t), для якого М>m, тобто для якого теорема про максимум невірна. Нехай ця функція приймає значення М в точці (x0,y0,z0,t0), де (x0,y0,z0) належить до Ω та 0Розглянемо функцію

де d діаметр області Ω. На бічній поверхні ціліндру QT та його нижній основі

Отже, v(x,y,z,t), так же як і u(x,y,z,t), не приймає найбільшого значення ні на бічній поверхні QT ні на його нижній основі. Нехай v(x,y,z,t) приймає найбільше значення в точці (x1,y1,z1,t1), де (x1,y1,z1) лежить всередині Ω та 0

З іншої сторони, що заперечує (1.4), теорема доведена.

З цього безпосередньо витікає, що: 1)

Розв’язок першої краєвої задачі (1.1)–(1.2) в циліндрі QT єдиний. Насправді, якщо б ми мали два будь-яких розв’язків u1 і u2 задачі, то їх різниця ,задовільняючи однорідному рівнянню (1.1), оберталася би в нуль як при t=0, так і на поверхні S області Ω. Але тоді, в силу теореми про максимум і мінімум, виходить що ω дорівнює тотожно нулю в області Ω при , тобто . 2)

Розв’язок першої крайової задачі (1.1)–(1.2) неперервно залежить від правих частин початкової і крайової умови. Дійсно, якщо різниця функцій, що входять відповідно в початково крайову умову, по абсолютній величині не перевищує деякого додаткового числа ε, то й різниця відповідних рішень, як рішення однорідного рівняння теплопровідності з малими початковими та крайовими значеннями, в усьому циліндрі QT по абсолютній величині також не буде перевищувати ε.

Зазвичай для розв’язання крайових задач в обмежених тілах відомої форми використовують метод поділу змінних.

Розповсюдження тепла в стрижні, кінці якого знаходяться при заданих змінних температурах (крайова задача першого роду). Ця задача зводиться до розв’язку рівняння тепловідності (1.1) при граничних умовах

і початковій умові

де і – задані функції.

Розв’язок шукаємо у вигляді ряду Фур’є

Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

Таким чином, розв’язком задачі (1.1), (1.5)–(1.6) буде ряд (1.7), де визначаються рівностями (1.12) і (1.13).

Розглянемо окремий випадок, коли кінці стрижня підтримуються при постійних температурах, тобто

Розв’язок першої крайоврої задачі складається з лінійного складника та двох нескінченних рядів, що містять експоненціальні татригонометричні фунцкції.

Розв’язання третьої крайової задачі методом поділу змінних.

Розповсюдження тепла в стрижні, на кінцях якого відбувається вільний теплообмін з навколишнім середовищем (крайова задача третього роду). Задача полягає у знаходженні розв’язків одномірного рівняння теплопровідності

Ця система двух однорідних рівнянь має очевидний розв’язок ми отримаємо розв’язок Відкидаючи цей випадок, ми повинні вважати, що принаймні одна з постіних відмінна від нуля. Тоді визначник системи повинен рівнятися нулю

Звідси, щоб отримати найпростіші аргументи тригонометричних функцій виконуємо заміну

Це рівняння має зчисленну множину дійсних коренів, в чому нескладно переконатися, побудувавши графік (рис. 1)

З рисунка 1 видно, що в кожному з інтервалів (0,π),(π,2π),… лежить додатній корінь рівняння (1.25), а від’ємні корені по модулям дорівнюють додатнім.

Позначимо через додатні корені рівняння (1.25). Тоді, згідно (1.24), власні значення будуть

При загальний розв’язок рівняння (1.19) має вигляд

де – довільні змінні.

Таким чином, нами знайдені особливі розв’язки рівняння (1.15)

що задовольняють крайовим умовам (1.16) при будь-яких .

Складемо ряд

Задовільняючи початкову умову (1.17), отримаємо

Власні функції ортогональні, тобто

Обчислюючи квадрат норми власних функцій (1.26), отримуємо

Припускаючи, що ряд (1.30) збіжний рівномірно, і приймаючи до уваги (1.29) і (1.30), знайдемо коефіцієнти за рівнянням

Вносячи цей вираз коефіцієнтів в ряд (1.27), отримуємо розв’язок задачі (1.15)-(1.17):

Розв’язок третьої крайової задачі – нескінченний ряд, кожний член яких має експоненціальні та тригонометричні множники.

Окрім методу поділу змінних часто використовують розв’язання за допомогою функцій Гріна. Цей метод придатний для ділянок довільної форми і довільних крайових і початкових умов 3 .

Загальні формули для розв’язку лінійних неоднорідних крайових задач.

Розв’язок рівняння (1.) з початковою умовою

u=f(x) при t=0, (1.32)

та довільними лінійними неоднорідними крайовими умовами

(1.33)

Шукану функцію можна записати у вигляді суми

Тут модифікована функція Гріна визначається за формулою 4

де та – власні значення та власні функції задачі Штурма – Ліувілля для лінійного звичайного диференційного рівняння другого порядку

,

Функції (x,t) та (x,t), що входять в підінтегральні вирази двох останніх складників в розв’язку (1.34), виражаються через функцію Гріна (1.35). Відповідні формули будуть вказані далі при дослідженні конкретних крайових задач.

Існує безліч власних значень. Всі власні значення дійсні і можуть бути впорядковані λ1<λ2<λ3<…, причому при n→∞ (тому може бути лише кінцева кільість від’ємних власних значень). Кожне власне значення має кратність 1. Власні функції визначаються з точністю до постійного множника. Кожна власна функція має у відкритому інтервалі рівно n-1 нулів. Власні функції та при ортогональні між собою з вагою s(x) на відрізку х1≤х≤х2:

Довільна функція f(x), що має неперервну похідну та задовільняє крайовим умовам задачі Штурма – Ліувілля, розкладається в абсолютно та рівномірно збіжний ряд по власним функціям

де формула для yn 2 приведена в (1.35).

При виконанні умов

a1b1≤0, a2b2≥0, (1.37)

від’ємних власних значень немає. Якщо b1=b2=0, то найменшим власним значенням буде λ1=0, якому відповідає власна функція φ1=const. В інших випадках при виконанні умов (1.37) всі власні значення додатні.

Для власних значень вірна асимптотична формула при

(1.38)

Рівняння (1.36) зводиться до випадка з допомогою підстановки

При цьому крайові умови перетворюються в крайові умови того самого типу.

Розв’язок першої крайової задачі з початковою умовою (1.32) та крайовими умовами

u=q1(t) при x=x1,

u=q2(t) при x=x2,

дається формулами (1.34)–(1.35), де

.

Відмітимо деякі спеціальні якості задачі Штурма –Ліувілля: 1.

При для оцінки власних значень λn можна використовувати асимптотику (1.38). При цьому для власних функцій yn(x) справедлива формула

2.

Для найменшого власного значення має місце оцінка зверху (принцип Релея)

де z=z(x) – будя-яка двічі диференційована функція, що задовільняє умовам z(x1)=z(x2)=0. Знак рівності в (1.39) досягається при z=y1(x), де y1(x) –власна функція задачі Штурма – Ліувілля, що відповідає власному значенню λ1. Для отримання конкретних оцінок в правій частині (1.39) можна покласти z=(x-x1)(x2-x) або 3.

Для власних значень вірні двосторонні оцінки:

4.

В інженерних розрахунках для визначення власних значень можна використовувати наближену формулу

(1.40)

Ця формула забезпечує точний результат.

Нехай а=1. Асимптотичні формули для власних значень λn та власних функцій yn(x) при

Розв’язок другої крайової задачі з початковою умовою (1.32) та крайовими умовами

де q1(t),q2(t) – теплові потоки,

дається формулами (1.34)–(1.35), де

Відмітимо деякі специфічні якості задачі Штурма – Ліувілля: 1)

Нехай а=1 . Асимптотичні формули для власних значень λn та власних функцій yn(x) при

Розв’язок третьої крайової задачі з початковою умовою (1.32) та крайовими умовами (1.33) при a1=a2=1 дається формулами (1.34)-(1.35), де

Нехай а=1. Асимптотичні формули для власних значень λn і власних функцій при к

Крім вище наведених методів для розв’язання рівняння теплопровідності широко використовуються різноманітні інтегральні перетворення.

На рисунку 2 зображена схема використання перетворення Лапласа для розв’язку лінійних крайових задач, що описуються рівняннями параболічного типу з двома незалежними змінннми, коефіцієнт яких не залежить від t 3 .

Важливо відмітити, що за допомогою перетворення Лапласа вихідна задача для рівняння з частинними похідними зводиться до більш простої задачі для звичайного диференційного рівняння з параметром р. При цьому похідні за часом t замінююються відповідними алгебраїчними виразами з урахуванням початкових умов.

Для наближенного розв’язання диференційних рівнянь використовують чисельні методи, зокрема метод кінцевих різниць.

Метод кінцевих різниць є одним з найбільш розповсюджених методів розв’язку крайових задач. Вважаємо, що область вкрита системою найчастіше регулярно розташованих точок. Рівняння записуються в заданих точках, причому похідні в них замінюються виразами, що містять значення невідомої функції в прилеглих точках. При цьому визначається система лінійних рівнянь відносно значень невідомої функції у вибраній системі точок. Отриману систему лінійних рівнянь можливо розв’язати або прямим методом, або організувати ітераційну схему розрахунків 5 .

Кінцево-різничні формули можливо отримати різними шляхами. Розглянемо один з них, пов’язаний з геометричними аналогіями похідних.

Нехай задана деяка функція

y=f(x), (1.41)

введемо довільну систему точок в області визначення функції (1.41). Координати цих точок приймуть значення х1, х2,…хn. Приймемо для простоти, що всі ці n точок рівновіддалені одна від одної. Позначимо через відстань між двома сусідніми т очками.

Нехай

(1.42)

Тоді, використовуючи визначення правосторонньої похідної, можливо записати

(1.43)

причому чим менше x тим точніша формула (1.42). Аналогічно можна записати формули

(1.44)

та

(1.45)

Аналогічно, двічи застосовуючи формулу (1.43), визначимо другу похідну

= (1.46)

Аналогічно можна записати

(1.47)

або

(1.48)

Далі узагальнимо отримані вирази для похідних на функцію однієї змінної u(x,y).

Визначаючи рівномірну систему точок для аргументів введемо наступні позначення

(1.49)

(1.50)

Тоді вирази для першої та другої похідних приймуть вигляд

, (1.51)

(1.52)

Ітераційна схема розв’язку задачі є більш простою з точки зору програміста. Розглянемо на конкретному прикладі основи алгоритму для подібної схеми.

Вводиться кінцева система точок всередині області та на її границі. Невідомими вважаються значення функції температурних відхилень в цих точках. Для цих точок введемо систему нумерації. Координати будь-якої точки з індексом і однозначно визначаються за формулою

(1.53)

де

(1.54)

Значення невідомої функції будемо визначати за формулою (1.50). Ітераційний метод розв’язку задачі полягає в наступному: 1.

задають початкове наближення невідомої функції в заданій системі точок всередині області та, використовуючи крайові умови, корегують або точно визначають невідому функцію в крайових точках; 2.

використовуючи запис рівняння теплопровідності в кінцевих різницях, корегують значення невідомої функції у внутрішніх точках області, а далі, як і в першому пункті, корегують (якщо треба) значення функції в крайових точках; 3.

порівнюють між собою значення невідомої функції, отримані на останній ітерації, з відповідними значеннями попередньої, якщо раніше вибраний критерій точності задовільняється, то розрахунки припиняються і значення невідомої функції на останній ітерації приймаються за розв’язок, в іншому випадку повертаються на другий крок ітераційної схеми.

Тепер розпишемо цей алгоритм більш детально. Приймемо, що

– початкове наближення чисельного розв’язку,

- чисельний розв’язок на наступних ітераціях.

1.

На першому кроці алгоритму необхідно присвоїти початкові значення (наприклад, нульові) для значень Значення відхилень температур в крайових точках можна визначити наступним чином: -

для верхньої границі (умови на температуру)

;i= ; (1.55)

-

для нижньої границі (умови на тепературу)

;i= ; (1.56)

(1.57)

(1.58)

2.

на другому кроці алгоритму корегують задані на початковій ітерації значення невідомої функції у внутрішніх точках. Для цього записують рівняння теплопровідності в кінцевих різницях

(1.59)

звідки

(1.60)

Спочатку вважаємо, що k=1. Значення невідомої функції в крайових точках корегуються за формулами (1.55), (1.56), (1.57), (1.58), тільки в них для функції відхилень температур замість нульового верхнього індекса записується індекс k. 3.

На третьому кроці алгоритму порівнюють розв’язки, отримані на двох останніх ітераціях. Частіше всього порівнюють з наперед заданим малим числом eps Якщо ця величина менша за eps, то розрахунки припиняють. В іншому випадку повертаються на на другий крок алгоритму і продовжуть розрахунки.

Розділ 2 Розв’язання задачі

Будуємо математичну модель температурного розподілу в стержні довжиною l, бічна поверхня якого теплоізольована, лівий кінець підтримується при температурі 100 ' С, а правий кінець сприймає тепловий потік Початкова температура стержня дорівнює Поклавши та l =2 зробити чисельні розрахунки для

Будемо розв’язувати задачу за допомогою інтегральних перетворень Лапласа

(x>0, t>0),

при t=0 (початкова умова),

u = 100 при х=0 (крайова умова),

при x=l (крайова умова).

Для розв’язку використаємо перетворення Лапласа за часом t. Беручи до уваги, що та враховуючи співвідношення:

, (2.1)

(2.2)

Приходимо до задачі для лінійного звичайного диференційного рівняння другого порядку з параметром р

(2.3)

при х=0 (крайова умова),(2.4)

при x=l (крайова умова).(2.5)

Спочатку розв’язуємо диференційне рівняння без правої частини. Його загальний розв’язок

Знаходимо розв’язок рівняння з правою частиною методом варіації постійних

Звідси знаходимо оригінал використовуючи властивості інтегральних перетворень Лапласа та таблиці зворотніх перетворень 3,6

Для чисельного розв’язання задачі використовуємо метод кінцевих різниць з кроком по координаті x 0,2, та по часу — 0,02. Отримані результати занесені до таблиці 1.


Способ заказа и контакты