Физические основы пластической деформации материалов

Фізичні основи пластичнної деформації матеріалів

Визначення бракуючих направляючих косинусів під час оброблення компонент тензора в новій системі координат

Тензор (2-го рангу) - це змінна величина, яка визначається в будь-якій декартовій системі координат тривимірного простору 32=9 числами (компонентами)

які під час повороту систем координат перетворяться в Аik згідно із законом:

, (3,1.1)

де - направляючі косинус переходу від старої до нової системи координат 1 .

Наприклад: — косинус кута α між 2-ою віссю і 3-ою віссю старої системи координат. Оскільки індекси косинусів (та) набувають по три значення, існують дев’ять різних комбінацій індексів. Отже, орієнтацію нової системи координат відносно старої задають дев’ятьма направляючими косинусами. Її зручно зобразити у вигляді таблиці (табл. 3.1), в якій 1-й індекс косинуса належать до старої, а 2-й – до нової системи координат.

Таблиця 3.1 - Направляючі косинуси

X Y Z X Y Z

- відомі направляючі косинуси.

Якщо всі дев’ять направляючих косинусів відомо, то за формулою (3.1.1) можна знайти компоненти тензора в новій системі координат. Звичайно відомо тільки три направляючі косинуси, оскільки орієнтація нової системи координат відносно старої однозначно визначається трьома кутами. Тому виникає необхідність у визначенні інших шести направляючих косинусів.

3.1.1 Записуємо відомі (задані) направляючі косинуси у табл. 3.2

Таблиця 3.2 - Відомі (задані) направляючих косинусів X Y Z X 0,68 Y 0,39 -0,49 Z У міру визначення інших направляючих косинусів їх значення потрібно занести до відповідних місць табл. 3.2

3.1.2 Знаходимо -за рівнянням Ейлера для осі у:

Знак визначає квадрант простору, в якому розглядають систему координат. Оскільки умовами задачі квадрант не обумовлений, вибираємо знак довільно. Хай +0,545.

3.1.3 Знаходимо косинуси для осі X’, використовуючи рівняння Ейлера та умову ортогональності вісей X’ і Y’:

Підставляючи відомі косинуси, маємо:

Розв’язуючи отриману систему рівнянь, знаходимо два варіанти наборів направляючих косинусів для осі X : 1-й варіант 2-й варіант ахх =0,731 axx =-0,389 аух =0,68 axy =0,68 аzx =-0,56 azx =0,835 Проводимо перевірку, підставляючи отримані значення косинусів до формул (3.1.2)

1-й варіант:

2-й варіант:

З результатів перевірки випливає, що обидва варіанти орієнтації нової системи координат у просторі, можливі. Відповідно до п. 1.2 вибираємо варіант довільно. Хай це буде 1-й варіант.

3.1.4 Знаходимо косинуси вісі Z , використовуючи рівняння Ейлера для цієї осі та умову ортогональності осей Х Z і Y’Z :

Після підставлення відомих косинусів одержуємо:

Розв’язуючи систему (3.1.3), знаходимо два варіанти наборів направляючих косинусів: 1-й варіант 2-й варіант axz =0,056 axz =-0,056 ayz’=0,701 ayz’=-0,701 azz =0,560 azz =-0,560 Проводимо перевірку, підставляючи значення косинусів обох варіантів до системи (3.1.3):

Якщо обидва варіанти задовольняють системі (3.1.3), то вибираємо один з них довільно. Отримані значення косинусів заносимо до табл. 3.2. X Y Z X 0,731 0,68 0,056 Y 0,39 -0,49 0,701 Z -0,56 0,545 0,560

Остаточну перевірку правильності визначення бракуючих направляючих косинусів проводимо, обчислюючи суми квадратів косинусів за рядками табл. 3.2.

Вони мають дорівнювати одиниці з точністю до 4-го знака після коми (щоб надалі компоненти тензора напруг у новій системі координат можна було знайти з похибкою, менше 1,0%).

3.2 Визначення компонент тензора напруг у новій системі координат

Закон перетворення компонент тензора під час повороту вісей координат (формулa 3.1.1) дано в скороченому, тензорному записі.

Перейдемо від скороченого запису до розгорненого. При цьому будемо мати на увазі, що в системі координат X, У, Z кожний з індексів і, k, l, т може набувати значення x, у, z відповідно до позначень вісей координат.

Хай і=х, k=х. Тоді σx x =σx .

.

У результаті одержуємо:

Аналогічно для інших компонент тензора напруг:

Приклад розрахунку

За заданим тензором напруг і знайденим значенням направляючих косинусів (див. табл. 3.2) знаходимо компоненти тензора в новій системі координат, використовуючи формули (3.2.1)-(3.2.6):

Тензор напруги в новій системі координат буде мати наступний вигляд:

Для перевірки правильності визначення компонент Т σ у новій системі координат потрібно обчислити базисні інваріанти в старій системі координат. Якщо розбіжність між ними не перевищує накопиченої помилки округлень при обчисленнях (із заданим ступенем точності, у даному випадку 1,0%), то компоненти Т σ знайдено правильно.

3.3 Визначення величини головних напруг

3.3.1 Знаходимо величину базисних інваріантів Т σ:

3.3.2 Складаємо кубічне рівняння

3.3.3 Кубічне рівняння загального вигляду (канонічне):

x³+rx²+sx+t=0.

потрібно подати як наведене:

y³+py+q=0,

де

У даному випадку:

y³-202,53y+523,568=0. (3.3.2)

3.3.4 Визначаємо знак дискримінанта наданого рівняння:

Дискримінант має бути завжди менше ніж 0, оскільки Тσ симетричний.

При Д<0 кубічне рівняння (3.3.2) має три дійсні корені 2 .

3.3.5 Знаходимо корні наведеного рівняння (3.3.3). Виводимо допоміжні величини 2 :

φ=118,16°.

Тоді:

3.3.6 Знаходимо корні канонічного рівняння (3.3.1):

3.3.7 Перевірка правильності розв’язання за базисним інваріантом

Найбільша похибка:

3.4 Визначення напряму головних напруг

Орієнтація головних напруг у просторі характеризується направляючими косинусами li, тi, пi, де і - індекс головної напруги.

Потрібно за початковим тензором напруг у довільній системі координат і величині головних напруг визначити їх орієнтацію в довільній системі координат.

Для визначення li, mi, пi потрібно використовувати рівняння напруг на похилому майданчику 3 спільно з рівнянням Ейлера. Після перетворень маємо:

,

Під час розрахунку кожної трійки li, тi, пi брати два з трьох рівнянь напруг на похилому майданчику та рівняння Ейлера.

Приклад: початковий тензор σ1, σ2, σ3.

Визначити..

3.4.1 Визначаємо напрямок головної напруги σ1.

Виразимо та через :

Із рівняння (-0,1422ni)²+(0,3294)²+ni=1 одержуємо, що ni=±0.94075.

Отримаємо два варіанти наборів направляючих косинусів: 1–й варіант 2–й варіант l1=-0,0238 l1=0,0238 m1=0,9874 m1=-0,9874 n1=-0,1566 n1=0,1566 Σai²=1 Σai²=1

3.4.2 Визначаємо направлення головної напруги σ2:

Отримаємо два варіанти наборів направляючих косинусів: 1-й варіант 2-й варіант l2=-0,1145 l2=0,1145 т2=0,9157 т2=-0,9157 п2=0,3853 п2=-0,3853 Σai2=1 Σai2=1 3.4.3 Визначаємо направлення головної напруги σ3:

Після розрахунків отримаємо:

1-й варіант .2-й варіант l3=-0,0366 l3=0,0366 m3=0,9794 m3=-0,9794 n3=0,1988 n3=-0,1988 Σai3=1 Σai3=1 3.4.4 Проводимо перевірку правильності визначення величин направляючих косинусів. Дані заносимо до таблиці 3.3

Таблиця 3.3 — Значення направляючих косинусів l т n X Y Z Верхні знаки належать до 1-ого варіанту, нижні - до другого. Сума квадратів косинусів по стовпцях таблиці має дорівнювати одиниці (з урахуванням похибки обчислень).

Для вибору варіанту використовуємо умови ортогональності вісей 1, 2, 3:

Доданки взаємно скоротяться, якщо взяти 1-й або 2-й варіанти наборів направляючих косинусів. Вибираємо 1-й варіант.

3.5 Визначення максимальних дотичних і октаедричних напруг, інтенсивностей напруг

3.5.1Знаходимо величину максимальних дотичних напруг 3 :

3.5.2 Напрямок максимальних дотичних напруг: у головних вісях направляючі косинуси (з віссю 1 – l, з віссю 2 - т, з віссю 3 - n) будуть наступними:

3.5.3. Визначаємо величину октаедричних напруг

Октаедричні напруги діють по майданчиках, у яких у головних вісях направляючі косинуси нормалей дорівнюють:

3.5.4 Знаходимо величини інтенсивностей нормальних і дотичних напруг:

ЗАВДАННЯ

до курсової роботи з дисципліни “Фізичні основи пластичної деформації” Варіант Тензор напруги Направляючі косинуса σx τxy τxz τyz σy τyz τzx τzy σz ayx axy ayy 0 -24,2 1,5 -3,0 1,5 -26,0 6,0 -3,0 6,0 -0,5 0,39 0,68 -0,49


Способ заказа и контакты