Теормех курсовой СамГТУ

Определить реакции в точках А, С, В, К

Стержень АК в точке С опирается на стержень ВС. Определить реакции в точках А, С, В, К, если Р = 6 кН, Q = 10 кН, F = 8 кH, М = 24 кНм, АЕ=ЕC=2,5 м, CK=KB. На составную конструкцию действуют активные силы Р, Q, F пара сил с моментом М, а также подлежащие определению шесть реакций ХА, УА, ХB, YB, XC, и YC. Решение Для определения 6 неизвестных усилий, разделим заданную систему в точке С на две и рассмотрим равновесие каждой части в отдельности. Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня BC. ΣFx=XС+Q·cos600-XB=0 ΣFY=YC+Q·sin600-YB=0 ΣMB=YС·AC·cos300-Q·sin600·0,5AC·cos300=0 Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня AС. ΣFx=-XС-F·cos500+XA=0 ΣFY=-YC-F·sin500-P+YA=0 ΣMA=M-P·cos300-Yc·AC·cos300-F·AD·cos300·cos400+Xc·AC·cos600+F·AD·cos600·cos500=0 Отсюда находим XС, YC, XВ, YВ, XA, YA, YС=Q·sin600·0,5AC·cos300/(AC·cos300) YB=YC+Q·sin600 XC=-(M-P·cos300-Yc·AC·cos300-F·AD·cos300·cos400+F·AD·cos600·cos500)/(AC·cos600) XB=XС+Q·cos600 XA=XС+F·cos500 YA= YC+F·sin500+P Решая совместно систему из уравнений, мы можем однозначно определить значения неизвестных. YС=10·sin600·0,5·4·cos300/(4·cos300)=4,33 кН YB=4,33+10·sin600=12,99 кН XC=-(24-6·cos300-4,33·4·cos300-8·5·cos300·cos400+8·5·cos600·cos500)/(4·cos600)=4,94 кН XB=4,94+10·cos600=9,94 кН XA=4,94+8·cos500=10,1 кН YA= 4,33+8·sin500+6=16,46 кН

2. Определить реакции опор и значение неизвестной силы

Рассмотреть равновесие пространственной конструкции, которая имеет ось вращения АВ. Определить реакции опор и значение неизвестной силы. G=12 кН. Решение. Находим неизвестную силу Т. Рассмотрим равновесие системы. Сумма моментов сил относительно оси Y равна нулю: ΣFY=G·r-T·R=0 T=G·r/R=12·0,18/0,24=9 кН. Находим составляющие реакций опор, написав уравнения равновесия: Плоскость XY: ΣFХ=-Т·cos300+YA+YB=0 ΣMA=Т·a·cos300+YB·(b+c)=0 Осюда: YB=-Т·a·cos300/(b+c)=-9·0,2·cos300 /(0,1+0,3)=-3,9 кН YA= Т·cos300-YA=9·cos300-(-3,9)=11,7 кН Плоскость ZY: ΣFZ=Т·cos600-ZA+ZB-G=0 ΣMA=-Т·a·cos600+ZB·(b+c)-G·b=0 Осюда: ZB=(Т·a·cos600+G·b)/(b+c)=(9·0,2·cos600+12·0,1)/(0,1+0,3)=5,25 кН ZA= Т·cos600+ZB-G=9·cos600+5,25-12=-2,25 кН Знак «-» указывает на то. Что направление реакций опор противоположно неправлению, указанному на рисунке.

3. Определить скорость и ускорение точек А, В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна

Определить скорость и ускорение точек А, В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна кривошипно-ползунного механизма в положении, определяемом углом φ между кривошипом и осью, параллельной оси движения ползуна. Скорости точек В и С и угловые скорость шатуна АВ определить c помощью теоремы о распределении скоростей при плоском движении тела. Аналогично ускорения точек В и С и угловое ускорение шатуна определить c помощью теоремы о распределении ускорений. Решение выполнить графическим методом. Дано: ОА=20см, АВ=60см, φ=240°, АС=30см, ωОА=2рад/с, h=10см . Решение. Начертим схему механизма в заданном положении с масштабным коэффициентом, указанном на чертеже. Для определения скоростей точек применяется теорема о распределении скоростей точек при плоскопараллельном движении твердого тела. Согласно этой теореме, скорость любой точки шатуна равна векторной сумме двух скоростей: вектора скорости какой-нибудь точки, взятой за полюс, и скорости этой точки во вращательном движении шатуна вокруг этого полюса. VB=VA+VBA; VC=VA+VCA; В формулах вектор скорости точки А, который перпендикулярен кривошипу ОА и равен по величине: vА=ωОА·ОА=2·20=40 см/с. Вектор скорости точки В направлен по отрезку ОВ и по величине неизвестен. Вектор BA скорости точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направляется перпендикулярно отрезку АВ. На рисунке показано построение векторного треугольника, с помощью которого определяются все неизвестные скорости. Начинаем построение с отрезка Ра, который в масштабе соответствует скорости A. Затем через точку а проводим линию перпендикулярную АВ, и через точку Р линию параллельную скорости B.В получившемся треугольнике расставляем направления векторов так, чтобы выполнилось равенство. Модули неизвестных векторов получаем, измеряя их значения на рисунке. С учетом масштабного коэффициента получим значения скоростей vB= 7,75 см/с, vBA =36,74 см/с. Определяем угловую скорость шатуна АВ: ωАВ= vBA/ВА=36,74/60=0,61 с-1 Направление вращения шатуна - против хода часовой стрелки. Вычисляем скорость VCA. vCA= ωab·АС=0,61·30=18,37 см/с. С учетом того, что скорость vCA перпендикулярна отрезку СА и направлена в ту же сторону, что и vBA, построим скорость cv. Измеряя длину вектора cv, получим его величину vC=22,19 см/с. Перейдем к определению ускорений точек. Определение ускорений точек следует начинать с вычисления ускорения точки А. Кривошип ОА вращается равномерно, поэтому ускорение точки А совпадает с нормальным ускорением, которое направлено от точки А к точке О, при этом аА=аАn=ωОА2·OA=22·20=80см/с2. Ускорения точек В и С определяем с помощью теоремы о распределении ускорений в плоскопараллельном движении шатуна АВ. Согласно этой теореме вектор ускорения любой точки тела при его плоскопараллельном движении равен векторной сумме ускорения какой-нибудь другой точки, взятой за полюс, касательного и нормального ускорений рассматриваемой точки во вращательном движении тела вокруг полюса. aB=aA+aBAn+aBAτ; aC=aA+aCAn+aCAτ; При этом, величина касательного ускорения равна aBAτ= εBA·BA, а направление перпендикулярно отрезку АВ; величина нормального ускорения равна aban=ωab2·BA а направление параллельно отрезку ВА от В к А. На рисунке показано графическое решение, соответствующее уравнению. Из произвольной точки откладывается вектор Aa, на рисунке он изображен отрезком ра. Определяется величина вектора aban=0,612·60=22,326 см/с2 Все искомые величины измеряются и определяются с учетом масштаба. Аналогично определяется ускорение точки С, величины слагаемых векторов вычисляются по формулам: εba = abaτ/BA= 34,536/60=0,576 с-2 Величина ускорения аС измеряется. aС = 67,54 см/с2 Итог расчета представлен в таблице. VB VC aB aC ωAB εAB 7,75 cм/c 22,19 cм/c 59,75 см/с2 67,544 см/с2 0,61 с-1 0,576 с-2

4. Определить грузоподъемность механизма и установить направление движения звеньев механизма ....

1.Определить грузоподъемность механизма и установить направление движения звеньев механизма под действием заданной нагрузки. 2. Нарисовать кинематическую схему механизма. Выразить перемещения, скорости, ускорения тел 2 и 3 через угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение тела 1. 3. Применяя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для механической системы, составить дифференциальное уравнение механизма, отнеся его к телу 1. 4. Решить дифференциальное уравнение и установить закон движения тела 1 φ1= φ1(t) а также его угловую скорость ω1= ω1(t). 5. Используя полученное решение и найденные в п. 2 кинематические соотношения, составить уравнения движения тел 2 и 3.Найти выражения для скоростей и ускорений всех трех тел. 6. Построить графики зависимости углового ускорения и угловой скорости колеса 1 в зависимости от времени. Определить значения угловых скоростей и ускорений тел 1 и 2 , а так же их угловые перемещения в момент времени t=3с. Определить скорость и ускорение тела 3 и его линейное перемещение в этот же момент времени. 7.Применяя принцип Даламбера, найти динамические реакции опор для колес, силу натяжения троса, соединяющего колеса 1 и 2, силу натяжения троса, на котором висит груз 3 в момент времени t=3c. 8.Вычислить мощность силы Р, определить её значение в момент времени t=3с. 9. Найти работу силы Р на перемещении, соответствующем времени t=3с. 10. Применяя принцип возможных перемещений, определить значение силы Р, необходимой для того, чтобы поднимать тело 3 с очень маленькой скоростью. 11. Сделать выводы. Исследуемая механическая система, изображенная на рисунке, состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует сила P=2100 Н . На колесо 2 действует сила сопротивления Rс =120v3 Н. В начальный момент времени t=0 система находилась в покое. Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны m1=300 кг, m2=100 кг, m3=400 кг. Радиусы больших и малых окружностей колес R1 = 0,7 м, r1 =0,4 м, R2 = 0,5 м, r2 = 0,3 м. Радиусы инерции колес 1 и 2 относительно их осей вращения. Iz1 =0,5 м, iz2 = 0,4 м. Номер тела приведения — 1. Определение грузоподъемности механизма. Требуется провести статический анализ механизма, определить значение массы m3гр, при которой возможно равновесие системы. Найти усилия в тросе, соединяющем колеса 1 и 2 а также в тросе, на котором висит груз 3, определить реакции внешних опор колес. Сравнивая массы m3гр и массу m3, данную в условии, установить направление движения звеньев механизма. Для решения рассматривается равновесие каждого звена под действием сил, показанных на рисунке. Здесь mg-силы тяжести; Nx , Ny-реакции подшипников; S1 и S2- силы действия и противодействия в тросе, соединяющем звенья 1 и 2. S1=S2. Уравнения равновесия для звена 1: Σ Fix=0 -N1x-S1cos30°+P=0; Σ Fiy=0 N1y-m1g-S1cos60°=0; Σ Mо1(Fi)=0 -P·R2 + S2·R2=0 Отсюда: S2·R2=P·R2=S2=P=2100 Н N1y=m1g+S1cos60°=300·9,81+2100·cos60°=3993 Н N1x=-S1cos30°+P=-2100·cos30°+2100=281 Н Уравнения равновесия для колеса 2 с грузом 3 Σ Fix=0, -N2x+S2cos30°=0; Σ Fiy=0, N2y–m2g+S2sin30°– Т23 =0; Σ Mo1(Fi) = 0, S2·r2 – Т23·R2 =0. Отсюда: Т23 =S2·r2/R2=2100·0,3/0,5=1260 Н N2y= m2g-S2sin30°+Т23=100·9,81-2100·sin30°+1260=1191 Н N2x=S2cos30°=2100·cos30°=1818 Н Т23=m2грg Отсюда: m2гр=Т23/g=1260/9,81=128,44 кг. Сравнивая заданную массу m3=400 кг с массой m3гр, видим, что m3>m3гр, значит груз 3 будет опускаться. Кинематика механизма. Требуется установить кинематические зависимости, выразив кинематические параметры тел 2 и 3 через параметры тела 1. На рисунке введены обозначения: ω1, ε1, φ1- угловая скорость, угловое ускорение, угловое перемещение тела 1; ω2 ε2 φ2 - то же для тела 2; v3, a3, y3- линейная скорость, ускорение и перемещение тела 3. Движение от тела 1 к телу 2 передается тросом и скорости точек, лежащих на окружностях колес радиуса, равны ω1R1=ω2r2, отсюда: ω2=ω1R1/r2, ω2=ω10,7/0,3=2,333ω1 Аналогично вычисляем угловые скорости и углы поворота. ε1R1=ε2r2, ε2=ε1R1/r2, ε2=ε10,7/0,3=2,333ε1 φ1R1=φ2r2, φ2=φ1R1/r2, φ2=φ10,7/0,3=2,333φ1 Груз 3 висит на тросе, который намотан на колесо радиуса R2, поэтому v3 = R2ω2, а с учетом того, что ω2=2,333ω1: v3= ω1R1R2/r2, v3=1,167ω1 Аналогично ускорение а3= ε1R1R2/r2, а3=1,167ε1 перемещения S3= φ1R1R2/r2, S3=1,167φ1 Формулы, полученные в этом параграфе, будут использоваться в дальнейших вычислениях Составление дифференциального уравнения движения механизма, приведенного к телу 1. Требуется составить динамическое дифференциальное уравнение движения механизма, приведя его к 1-ому телу, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на систему dT/dt= Σ NFi. Система состоит из твердых тел, тросы, передающие движение от одного тела к другому нерастяжимые и невесомые, поэтому сумма мощностей всех внутренних сил системы равна нулю. Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в главе 3. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении Т=Т1+Т2+Т3. Тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетическая энергия вычисляется по следующим формулам: Т1=Iz1ω12/2; Т1=Iz2ω22/2. Тело 3 движется поступательно, поэтому Т3=m3v32/2=m3·(1,167ω1)2/2 Iz1 - момент инерции тела 1 относительно его оси вращения, он равен Iz1=m1ρz12=300·0,52=75 кгм2. Iz2- момент инерции тела 2 относительно его оси вращения, он равен Iz2=m2ρz22=100·0,42=16 кгм2. Получается выражение для кинетической энергии T=Iz1ω12/2+Iz2(2,333ω1)2/2+m3·(1,167ω1)2/2 подставляя значения, получим: T=75·ω12/2+16(2,333ω1)2/2+400·(1,167ω1)2/2=353,42ω12. dT/dt=706,84ω1ε1. Для заданной механической системы, состоящей из твердых тел, соединенных нерастяжимыми, невесомыми тросами мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность внешних сил. В общем случае мощность силы определяется формулой N=Fvcosα, где F - величина силы, v-скорость точки приложения силы, α - угол между направлением силы и направлением скорости. Силы тяжести тел 1 и 2, а также реакции опор N1x, N1y, N2x, N2y приложены к неподвижным точкам О1 и О2 поэтому их мощности равны нулю. Мощность силы Р равна Np=-Р·R1·ω1=-2100·0,7ω1=-1470ω1 мощность силы тяжести m3g равна Nm3g =m3gv3=1,167m3gω1=1,167·400·9,81ω1=4579,3ω1 мощность силы Rc: NR=R·v3=120v3·v3=120·(1,167·ω1)2=163,4ω12. ΣNFi=-1470ω1+4579,3ω1+163,4ω12=3109,3ω1+163,4ω12. Сокращая ω1 и учитывая, что ε1=d2φ1/dt2, получим дифференциальное уравнение 706,84ω1d2φ1/dt2 =3109,3ω1+163,4ω12. 706,84ε1 =3109,3+163,4ω1. ε1 =4,4+0,23ω1. ε1-0,23ω1=4,4. d2φ1/dt2-0,23dφ1/dt=4,4 Решение дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения отыскивается в виде φ1= φобщ+φчаст, где φобщ –решение однородного уравнения d2φ1/dt2-0,23dφ1/dt=4,4 φчаст - частное решение уравнения. Для решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение ρ2-0,23ρ=0. Корни характеристического уравнения ρ1=0, ρ2=0,23. Решение, соответствующее корням характеристического уравнения, имеет вид φобщ =С1+С2е0,23t, где С1 и С2 - константы интегрирования. Частное решение уравнения отыскивается по виду правой части: φчаст=А·t. Константа А определяется после подстановки φчаст в уравнение -0,23A=4,4 Отсюда А=-19,13 φ1 =С1+С2е0,23t-19,13t Константы С1 и С2 определяются из начальных условий: при t=0 φ1=0 и ω1=0. Вычислим угловую скорость, взяв производную ω1=dφ1/dt=0,23С2е0,23t-19,13 Выполнение начальных условий дает два алгебраических уравнения: С1+С2=0, 0,23C2+19,13=0. Из этих уравнений С2=-С1=-83,17. φ1=83,17-83,17е0,23t-19,13t ω1=-19,13е0,23t-19,13 ''1=-4,4е0,23t Законы движения всех тел механизма, формулы скоростей и ускорений этих тел в зависимости от времени. Воспользовавшись кинематическими зависимостями, вычисленными ранее получим закон движения тела 2 и формулы ω2= ω2(t) и ε2= ε2(t): φ2=2,333φ1=194-194е0,23t-44,63t ω2=2,333ω1=-44,63е0,23t-44,63 ''2=2,333 ''1=-10,26е0,23t Получим законы изменения параметров движения тела 3: y3=1,167φ1=97,06-97,06е0,23t-22,32t v3=1,167ω1=-22,32е0,23t-22,32 a3=1,167 ''1=-5,13е0,23t График изменения кинематических параметров по времени. Характеристики установившегося движения. Требуется с помощью уравнений, полученных в п.6, построить графики угловой скорости, ускорения и перемещения колеса 1 по формулам из п.7 и по ним определить характеристики установившегося движения. Для построения графиков воспользуемся программой Microsoft Excel. На рисунке видно, что при t→∞, ε1→∞ а ω1→∞ с-1. Отсюда можно сделать вывод, что c течением времени звенья ускоряются и увеличивается угловая скорость. Примерно при 20 с наступает установившееся движение. График изменения углового ускорения звена 1. График изменения угловой скорости звена 1. Определение динамических реакций опор колес. Требуется вычислить реакции внешних опор колес 1 и 2, а также силы натяжения всех ветвей тросов. Для определения сил реакций опор и силы натяжения троса между телами 1 и 2 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера. Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неё выполняются уравнения статики. Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор и к ним добавить момент пары сопротивления Мс. Силы инерции вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с соответствующими моментами М1Ф=-Iz1ε1 , М2Ф=-Iz2ε2. Знак минус в этих формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения противоположны по направлениям. Iz1и Iz2 - моменты инерции колес относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое движется поступательно, равна Ф3=-m3a3. Все силы и моменты изображены на рисунке. Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого тела в отдельности. При этом учтём силы натяжения троса, который передаёт движение от первого тела ко второму. Это внутренние силы S1 и S2, по 3-му закону Ньютона они равны по величине и противоположны по направлению. Система сил, действующих на тело 1, плоская, поэтому следует составить три уравнения. Сумма проекций всех сил на ось x равна 0 ''Fx=P-N1x-S1cos30=0 ''Fy=N1y-m1g- S1cos60=0 ''M=P·R1+M1ф-S1R1=0 S1= (P·R1+m1ρ1 ''1)/R1= (P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1=(2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7 N1y=m1g+ S1cos60= m1g+((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1=(2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7) cos60 N1x= P-S1cos30= P-((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1)cos30= P-((2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7)cos30 Система сил, действующих на тело 2 и 3 ''Fx= S2cos30-N2x=0 ''Fy= S2cos60+N2y-m2g-m3g+Ф3=0 N2y=-S2cos60+m2g+m3g-Ф3=-((2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7)cos60+100·9,81+400·9,81+400·5,13е0,23t N2x= S2cos30=((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1)cos30=((2100·0,7-300·0,54,4е0,23t)/0,7)cos30 Определяем усилие троса возле груза: S3+Ф3-m3g-Rc=0 S3=-m3a3+m3g+120v3=m3·5,13е0,23t+ m3g+120·(-22,32е0,23t-22,32)=400·5,13е0,23t+ 400·9,81+120·(-22,32е0,23t-22,32)=-626,4 е0,23t+1245 При t=20с S3=-626,4 е0,23·20+1245=-61045 Н Мощность ведущего усилия. Ведущим усилием для рассматриваемого механизма является сила Р. Мощность силы Р вычисляется по формуле NP=Pv3 cos0 ', где v3-скорость точки приложения силы Р, 0 '-угол между направлением силы и скорости. Получим: NP=P(22,32е0,23t-22,32) При t=20с NP=2100(22,32 е0,23·20-22,32)/1000=4613 кВт Работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. В нашем случае момент силы Р относительно оси вращения постоянен и равен Мz1=Р·R1=2100·0,7=1470 Нм, поэтому работу силы Р следует вычислять по формуле АР=-Р·R1φ1. Знак «-» выбран потому, что направление момента силы Р и направление вращения колеса 1 не совпадают. Вычислим значение угла поворота φ1 для момента времени, за которое движение механизма устанавливается tуст=20 c. φ1=83,17-83,17 е0,23·20-19,13·20=8569,6 рад АР=-2100·0,7·8569,6=12597312 Дж 1.Определить грузоподъемность механизма и установить направление движения звеньев механизма под действием заданной нагрузки. 2. Нарисовать кинематическую схему механизма. Выразить перемещения, скорости, ускорения тел 2 и 3 через угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение тела 1. 3. Применяя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для механической системы, составить дифференциальное уравнение механизма, отнеся его к телу 1. 4. Решить дифференциальное уравнение и установить закон движения тела 1 φ1= φ1(t) а также его угловую скорость ω1= ω1(t). 5. Используя полученное решение и найденные в п. 2 кинематические соотношения, составить уравнения движения тел 2 и 3.Найти выражения для скоростей и ускорений всех трех тел. 6. Построить графики зависимости углового ускорения и угловой скорости колеса 1 в зависимости от времени. Определить значения угловых скоростей и ускорений тел 1 и 2 , а так же их угловые перемещения в момент времени t=3с. Определить скорость и ускорение тела 3 и его линейное перемещение в этот же момент времени. 7.Применяя принцип Даламбера, найти динамические реакции опор для колес, силу натяжения троса, соединяющего колеса 1 и 2, силу натяжения троса, на котором висит груз 3 в момент времени t=3c. 8.Вычислить мощность силы Р, определить её значение в момент времени t=3с. 9. Найти работу силы Р на перемещении, соответствующем времени t=3с. 10. Применяя принцип возможных перемещений, определить значение силы Р, необходимой для того, чтобы поднимать тело 3 с очень маленькой скоростью. 11. Сделать выводы. Исследуемая механическая система, изображенная на рисунке, состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует сила P=2100 Н . На колесо 2 действует сила сопротивления Rс =120v3 Н. В начальный момент времени t=0 система находилась в покое. Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны m1=300 кг, m2=100 кг, m3=400 кг. Радиусы больших и малых окружностей колес R1 = 0,7 м, r1 =0,4 м, R2 = 0,5 м, r2 = 0,3 м. Радиусы инерции колес 1 и 2 относительно их осей вращения. Iz1 =0,5 м, iz2 = 0,4 м. Номер тела приведения — 1. Определение грузоподъемности механизма. Требуется провести статический анализ механизма, определить значение массы m3гр, при которой возможно равновесие системы. Найти усилия в тросе, соединяющем колеса 1 и 2 а также в тросе, на котором висит груз 3, определить реакции внешних опор колес. Сравнивая массы m3гр и массу m3, данную в условии, установить направление движения звеньев механизма. Для решения рассматривается равновесие каждого звена под действием сил, показанных на рисунке. Здесь mg-силы тяжести; Nx , Ny-реакции подшипников; S1 и S2- силы действия и противодействия в тросе, соединяющем звенья 1 и 2. S1=S2. Уравнения равновесия для звена 1: Σ Fix=0 -N1x-S1cos30°+P=0; Σ Fiy=0 N1y-m1g-S1cos60°=0; Σ Mо1(Fi)=0 -P·R2 + S2·R2=0 Отсюда: S2·R2=P·R2=S2=P=2100 Н N1y=m1g+S1cos60°=300·9,81+2100·cos60°=3993 Н N1x=-S1cos30°+P=-2100·cos30°+2100=281 Н Уравнения равновесия для колеса 2 с грузом 3 Σ Fix=0, -N2x+S2cos30°=0; Σ Fiy=0, N2y–m2g+S2sin30°– Т23 =0; Σ Mo1(Fi) = 0, S2·r2 – Т23·R2 =0. Отсюда: Т23 =S2·r2/R2=2100·0,3/0,5=1260 Н N2y= m2g-S2sin30°+Т23=100·9,81-2100·sin30°+1260=1191 Н N2x=S2cos30°=2100·cos30°=1818 Н Т23=m2грg Отсюда: m2гр=Т23/g=1260/9,81=128,44 кг. Сравнивая заданную массу m3=400 кг с массой m3гр, видим, что m3>m3гр, значит груз 3 будет опускаться. Кинематика механизма. Требуется установить кинематические зависимости, выразив кинематические параметры тел 2 и 3 через параметры тела 1. На рисунке введены обозначения: ω1, ε1, φ1- угловая скорость, угловое ускорение, угловое перемещение тела 1; ω2 ε2 φ2 - то же для тела 2; v3, a3, y3- линейная скорость, ускорение и перемещение тела 3. Движение от тела 1 к телу 2 передается тросом и скорости точек, лежащих на окружностях колес радиуса, равны ω1R1=ω2r2, отсюда: ω2=ω1R1/r2, ω2=ω10,7/0,3=2,333ω1 Аналогично вычисляем угловые скорости и углы поворота. ε1R1=ε2r2, ε2=ε1R1/r2, ε2=ε10,7/0,3=2,333ε1 φ1R1=φ2r2, φ2=φ1R1/r2, φ2=φ10,7/0,3=2,333φ1 Груз 3 висит на тросе, который намотан на колесо радиуса R2, поэтому v3 = R2ω2, а с учетом того, что ω2=2,333ω1: v3= ω1R1R2/r2, v3=1,167ω1 Аналогично ускорение а3= ε1R1R2/r2, а3=1,167ε1 перемещения S3= φ1R1R2/r2, S3=1,167φ1 Формулы, полученные в этом параграфе, будут использоваться в дальнейших вычислениях Составление дифференциального уравнения движения механизма, приведенного к телу 1. Требуется составить динамическое дифференциальное уравнение движения механизма, приведя его к 1-ому телу, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на систему dT/dt= Σ NFi. Система состоит из твердых тел, тросы, передающие движение от одного тела к другому нерастяжимые и невесомые, поэтому сумма мощностей всех внутренних сил системы равна нулю. Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в главе 3. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении Т=Т1+Т2+Т3. Тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетическая энергия вычисляется по следующим формулам: Т1=Iz1ω12/2; Т1=Iz2ω22/2. Тело 3 движется поступательно, поэтому Т3=m3v32/2=m3·(1,167ω1)2/2 Iz1 - момент инерции тела 1 относительно его оси вращения, он равен Iz1=m1ρz12=300·0,52=75 кгм2. Iz2- момент инерции тела 2 относительно его оси вращения, он равен Iz2=m2ρz22=100·0,42=16 кгм2. Получается выражение для кинетической энергии T=Iz1ω12/2+Iz2(2,333ω1)2/2+m3·(1,167ω1)2/2 подставляя значения, получим: T=75·ω12/2+16(2,333ω1)2/2+400·(1,167ω1)2/2=353,42ω12. dT/dt=706,84ω1ε1. Для заданной механической системы, состоящей из твердых тел, соединенных нерастяжимыми, невесомыми тросами мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность внешних сил. В общем случае мощность силы определяется формулой N=Fvcosα, где F - величина силы, v-скорость точки приложения силы, α - угол между направлением силы и направлением скорости. Силы тяжести тел 1 и 2, а также реакции опор N1x, N1y, N2x, N2y приложены к неподвижным точкам О1 и О2 поэтому их мощности равны нулю. Мощность силы Р равна Np=-Р·R1·ω1=-2100·0,7ω1=-1470ω1 мощность силы тяжести m3g равна Nm3g =m3gv3=1,167m3gω1=1,167·400·9,81ω1=4579,3ω1 мощность силы Rc: NR=R·v3=120v3·v3=120·(1,167·ω1)2=163,4ω12. ΣNFi=-1470ω1+4579,3ω1+163,4ω12=3109,3ω1+163,4ω12. Сокращая ω1 и учитывая, что ε1=d2φ1/dt2, получим дифференциальное уравнение 706,84ω1d2φ1/dt2 =3109,3ω1+163,4ω12. 706,84ε1 =3109,3+163,4ω1. ε1 =4,4+0,23ω1. ε1-0,23ω1=4,4. d2φ1/dt2-0,23dφ1/dt=4,4 Решение дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения отыскивается в виде φ1= φобщ+φчаст, где φобщ –решение однородного уравнения d2φ1/dt2-0,23dφ1/dt=4,4 φчаст - частное решение уравнения. Для решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение ρ2-0,23ρ=0. Корни характеристического уравнения ρ1=0, ρ2=0,23. Решение, соответствующее корням характеристического уравнения, имеет вид φобщ =С1+С2е0,23t, где С1 и С2 - константы интегрирования. Частное решение уравнения отыскивается по виду правой части: φчаст=А·t. Константа А определяется после подстановки φчаст в уравнение -0,23A=4,4 Отсюда А=-19,13 φ1 =С1+С2е0,23t-19,13t Константы С1 и С2 определяются из начальных условий: при t=0 φ1=0 и ω1=0. Вычислим угловую скорость, взяв производную ω1=dφ1/dt=0,23С2е0,23t-19,13 Выполнение начальных условий дает два алгебраических уравнения: С1+С2=0, 0,23C2+19,13=0. Из этих уравнений С2=-С1=-83,17. φ1=83,17-83,17е0,23t-19,13t ω1=-19,13е0,23t-19,13 ''1=-4,4е0,23t Законы движения всех тел механизма, формулы скоростей и ускорений этих тел в зависимости от времени. Воспользовавшись кинематическими зависимостями, вычисленными ранее получим закон движения тела 2 и формулы ω2= ω2(t) и ε2= ε2(t): φ2=2,333φ1=194-194е0,23t-44,63t ω2=2,333ω1=-44,63е0,23t-44,63 ''2=2,333 ''1=-10,26е0,23t Получим законы изменения параметров движения тела 3: y3=1,167φ1=97,06-97,06е0,23t-22,32t v3=1,167ω1=-22,32е0,23t-22,32 a3=1,167 ''1=-5,13е0,23t График изменения кинематических параметров по времени. Характеристики установившегося движения. Требуется с помощью уравнений, полученных в п.6, построить графики угловой скорости, ускорения и перемещения колеса 1 по формулам из п.7 и по ним определить характеристики установившегося движения. Для построения графиков воспользуемся программой Microsoft Excel. На рисунке видно, что при t→∞, ε1→∞ а ω1→∞ с-1. Отсюда можно сделать вывод, что c течением времени звенья ускоряются и увеличивается угловая скорость. Примерно при 20 с наступает установившееся движение. График изменения углового ускорения звена 1. График изменения угловой скорости звена 1. Определение динамических реакций опор колес. Требуется вычислить реакции внешних опор колес 1 и 2, а также силы натяжения всех ветвей тросов. Для определения сил реакций опор и силы натяжения троса между телами 1 и 2 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера. Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неё выполняются уравнения статики. Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор и к ним добавить момент пары сопротивления Мс. Силы инерции вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с соответствующими моментами М1Ф=-Iz1ε1 , М2Ф=-Iz2ε2. Знак минус в этих формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения противоположны по направлениям. Iz1и Iz2 - моменты инерции колес относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое движется поступательно, равна Ф3=-m3a3. Все силы и моменты изображены на рисунке. Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого тела в отдельности. При этом учтём силы натяжения троса, который передаёт движение от первого тела ко второму. Это внутренние силы S1 и S2, по 3-му закону Ньютона они равны по величине и противоположны по направлению. Система сил, действующих на тело 1, плоская, поэтому следует составить три уравнения. Сумма проекций всех сил на ось x равна 0 ''Fx=P-N1x-S1cos30=0 ''Fy=N1y-m1g- S1cos60=0 ''M=P·R1+M1ф-S1R1=0 S1= (P·R1+m1ρ1 ''1)/R1= (P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1=(2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7 N1y=m1g+ S1cos60= m1g+((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1=(2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7) cos60 N1x= P-S1cos30= P-((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1)cos30= P-((2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7)cos30 Система сил, действующих на тело 2 и 3 ''Fx= S2cos30-N2x=0 ''Fy= S2cos60+N2y-m2g-m3g+Ф3=0 N2y=-S2cos60+m2g+m3g-Ф3=-((2100·0,7-300·0,5·4,4е0,23t)/0,7)cos60+100·9,81+400·9,81+400·5,13е0,23t N2x= S2cos30=((P·R1-m1ρ14,4е0,23t)/R1)cos30=((2100·0,7-300·0,54,4е0,23t)/0,7)cos30 Определяем усилие троса возле груза: S3+Ф3-m3g-Rc=0 S3=-m3a3+m3g+120v3=m3·5,13е0,23t+ m3g+120·(-22,32е0,23t-22,32)=400·5,13е0,23t+ 400·9,81+120·(-22,32е0,23t-22,32)=-626,4 е0,23t+1245 При t=20с S3=-626,4 е0,23·20+1245=-61045 Н Мощность ведущего усилия. Ведущим усилием для рассматриваемого механизма является сила Р. Мощность силы Р вычисляется по формуле NP=Pv3 cos0 ', где v3-скорость точки приложения силы Р, 0 '-угол между направлением силы и скорости. Получим: NP=P(22,32е0,23t-22,32) При t=20с NP=2100(22,32 е0,23·20-22,32)/1000=4613 кВт Работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. В нашем случае момент силы Р относительно оси вращения постоянен и равен Мz1=Р·R1=2100·0,7=1470 Нм, поэтому работу силы Р следует вычислять по формуле АР=-Р·R1φ1. Знак «-» выбран потому, что направление момента силы Р и направление вращения колеса 1 не совпадают. Вычислим значение угла поворота φ1 для момента времени, за которое движение механизма устанавливается tуст=20 c. φ1=83,17-83,17 е0,23·20-19,13·20=8569,6 рад АР=-2100·0,7·8569,6=12597312 Дж Принцип возможных перемещений. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. ΣδАк=0. Определим предельное значение силы, которая будет удерживать механизм в равновесии при заданных массах звеньев. Сопротивление, зависящее от скорости в этом случае равно 0. На рисунке изображены активные силы, действующие на механизм. Это сила Р, силы тяжести звеньев и груза 3. Действие силы Q на колодку передаётся на колесо 2 в точке А через силу давления N и силу трения Fтр. В случае равновесия механизма, возможные перемещения звеньев механизма будут соответственно δφ1,δφ2 и δy3. δφ2=R/r2 δφ1; δy3= δφ1.R1R2/r2 Дадим механизму возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил. Σ δАк=δАР+δАFтр+ δАm3g; Σ δАк =-РR1δφ1+m3g R1R2/r2 δφ1-fQ R2 R1/r2 δφ1=0; -РR1+m3g R1R2/r2 -fQ R2 R1/r2 =0; Q=(-РR1+m3g R1R2/r2)/(f R2 R1/r2)= (-2100·0,7+400·9,81·0,7·0,5/0,3)/(0,1·0,5·0,7/0,3)=26640 Н При значении силы Q=26640 Н механизм не тронется с места. Выводы. Методами статики исследовано состояние равновесия подъемного механизма и установлена грузоподъемность, реакции внешних опор и сил натяжения тросов при максимальной нагрузке. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме получено дифференциальное уравнение движения механической системы, после интегрирования которого, установлены законы движения всех тел и получены формулы изменения их скоростей и ускорений. Для определения сил натяжения тросов и реакций связей был применен принцип Даламбера. Построены графики изменения параметров движения тела 1. По графику угловой скорости видно, что через некоторое время угловая скорость колеса 1 становится постоянной и равной ω1уст=1530,55 с-1, это значит, что движение устанавливается, и все тела движутся равномерно. Время установления tуст= 20 c. Определены силы натяжения тросов. Установлены законы изменения значений этих сил и определены их максимальные значения. Вычислены реакции внешних связей и их максимальные значения. Установлена зависимость мощности ведущего усилия Р от времени и определено её максимальное значение Nрмах=4613т кВт. Определена работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. Принцип возможных перемещений применен для определения тормозящего усилия Q, необходимого для удержания механизма в равновесии. Таким образом, методами теоретической механики исследована статика, кинематика и динамика подъёмного механизма. Принцип возможных перемещений. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. ΣδАк=0. Определим предельное значение силы, которая будет удерживать механизм в равновесии при заданных массах звеньев. Сопротивление, зависящее от скорости в этом случае равно 0. На рисунке изображены активные силы, действующие на механизм. Это сила Р, силы тяжести звеньев и груза 3. Действие силы Q на колодку передаётся на колесо 2 в точке А через силу давления N и силу трения Fтр. В случае равновесия механизма, возможные перемещения звеньев механизма будут соответственно δφ1,δφ2 и δy3. δφ2=R/r2 δφ1; δy3= δφ1.R1R2/r2 Дадим механизму возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил. Σ δАк=δАР+δАFтр+ δАm3g; Σ δАк =-РR1δφ1+m3g R1R2/r2 δφ1-fQ R2 R1/r2 δφ1=0; -РR1+m3g R1R2/r2 -fQ R2 R1/r2 =0; Q=(-РR1+m3g R1R2/r2)/(f R2 R1/r2)= (-2100·0,7+400·9,81·0,7·0,5/0,3)/(0,1·0,5·0,7/0,3)=26640 Н При значении силы Q=26640 Н механизм не тронется с места. Выводы. Методами статики исследовано состояние равновесия подъемного механизма и установлена грузоподъемность, реакции внешних опор и сил натяжения тросов при максимальной нагрузке. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме получено дифференциальное уравнение движения механической системы, после интегрирования которого, установлены законы движения всех тел и получены формулы изменения их скоростей и ускорений. Для определения сил натяжения тросов и реакций связей был применен принцип Даламбера. Построены графики изменения параметров движения тела 1. По графику угловой скорости видно, что через некоторое время угловая скорость колеса 1 становится постоянной и равной ω1уст=1530,55 с-1, это значит, что движение устанавливается, и все тела движутся равномерно. Время установления tуст= 20 c. Определены силы натяжения тросов. Установлены законы изменения значений этих сил и определены их максимальные значения. Вычислены реакции внешних связей и их максимальные значения. Установлена зависимость мощности ведущего усилия Р от времени и определено её максимальное значение Nрмах=4613т кВт. Определена работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. Принцип возможных перемещений применен для определения тормозящего усилия Q, необходимого для удержания механизма в равновесии. Таким образом, методами теоретической механики исследована статика, кинематика и динамика подъёмного механизма.

курсовой вариант 6

СОДЕРЖАНИЕ Задание 1………………………………………………………………………..…2 Задание 2………………………………………………………………..…………5 Задание 3…………………………………………………………………………..8 Задание 4………………………………………………………………………....13 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………..31 2 Задание 1. Стержень AC соединяется со стержнем BD в точке C (рис. 1.1). Определить реакции в точках A, B и C, если кН; кН; кН; кНм; BE = EC = 3 м; CD = 1 м; AK = KC. Рис. 1.1 Схема конструкции Решение. На составную конструкцию действуют активные силы и , пара сил с моментом , а также подлежащие определению шесть реакций , , , , и . Сделаем чертежи и рассмотрим равновесие каждого тела. Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня AC (рис. 1.2): Из данной системы уравнений можно определить значения и : 3 Рис. 1.2 Стержень AC Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня BD (рис. 1.3): Рис. 1.3 Стержень BD Сопоставляя уравнения из двух систем, находим оставшиеся неизвестные реакции: 4 Ответ: ; ; ; ; ; . 5 Задание 2. На плиту действует сила (рис. 2.1). Определить значения реакций опоры B и шарнира A, а также реакцию стержня C. кН. Считаем плиту квадратной. Рис. 2.1 Схема конструкции Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действует активная сила , перпендикулярная плоскости плиты. Реакцию опоры B раскладываем на две взаимно перпендикулярные составляющие – ; реакцию шарнира A – на три составляющие – , , , лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях; реакция направлена вдоль стержня C. Начало координат выбираем в точке A. Оси направим как показано на рис. 2.1. Неизвестными являются реакции: . В данной системе можно составить 6 уравнений равновесия, поэтому задача является статически определенной. 6 Сделаем дополнительные чертежи, представляющие собой виды на соответствующие плоскости проекций (рис. 2.2 – 2.4). Рис. 2.2 Проекция системы сил на плоскость zAy Рис. 2.3 Проекция системы сил на плоскость xAy Рис. 2.4 Проекция системы сил на плоскость xAz 7 Составим уравнения равновесия: Из этих уравнений однозначно определяются все неизвестные величины: Ответ: ; ; ; ; ; . 8 Задание 3. Определить скорости и ускорения точек A, B, C, кривошипно-ползунного механизма, указанном на рис. 3.1. Дано OA = 20 см, AB = 60 см, φ = 150º, AC = CB = 30 см, с-1, h = 10 см. Скорости точек B и C и угловые скорости шатуна AB определить с помощью теоремы о распределении скоростей при плоском движении тела. Аналогично ускорения точек B и C и угловое ускорение шатуна определить с помощью теоремы о распределении ускорений. Рис. 3.1 Схема механизма Решение. Начертим схему механизма в заданном положении с масштабным коэффициентом . Для определения скоростей точек применяется теорема о распределении скоростей точек при плоскопараллельном движении твердого тела. Согласно этой теореме, скорость любой точки шатуна равна векторной сумме двух скоростей: вектора скорости какой-нибудь точки, взятой за полюс, и скорости этой точки во вращательном движении шатуна вокруг этого полюса: В формулах (3.1) и (3.2) – вектор скорости точки A, который перпендикулярен кривошипу OA и равен по величине . 9 Масштабный коэффициент Вектор скорости точки B горизонтален и по величине неизвестен. Вектор скорости точки B во вращательном движении шатуна AB вокруг полюса A направляется перпендикулярно отрезку AB (рис. 3.2). На рисунке 3.3 показано построение векторного треугольника, с помощью которого определяются все неизвестные скорости. Рис. 3.2 Направление скоростей точек механизма Рис. 3.3 Графическое определение скоростей точек Начинаем построение с отрезка Pa, который в масштабе соответствует скорости . Затем через точку a проводим линию перпендикулярную AB, и через точку P линию параллельную скорости . В получившемся треугольнике расставляем направления векторов так, чтобы 10 выполнялось равенство (3.1). Модули неизвестных векторов получаем, измеряя их значение на рисунке. С учетом масштабного коэффициента получим значения скоростей см/с; см/с. Определяем угловую скорость шатуна AB: Направление вращения шатуна – против часовой стрелки. Вычисляем скорость : С учетом того, что скорость перпендикулярна отрезку CA и направлена в ту же сторону, что и , построим скорость . Измеряя длину вектора , получим его величину см/с. Перейдем к определению ускорений точек. Определение ускорений точек следует начинать с вычисления ускорения точки A. Кривошип OA вращается равномерно, поэтому ускорение точки A совпадает с нормальным ускорением, которое направлено от точки A к точке O, при этом . Ускорения точек B и C определяем с помощью теоремы о распределении ускорений в плоскопараллельном движении шатуна AB. Согласно этой теореме вектор ускорения любой точки тела при его плоскопараллельном движении равен векторной сумме ускорения какой-нибудь другой точки, взятой за полюс, касательного и нормального ускорений рассматриваемой точки во вращательном движении тела вокруг полюса: При этом величина касательного ускорения равна , а направление перпендикулярно отрезку AB; величина нормального ускорения равна , а направление параллельно отрезку BA от B к A (см. рис. 3.4). 11 На рис. 3.5 показано графическое решение, соответствующее уравнению (3.4). Из произвольной точки откладывается вектор , на рисунке он изображен вектором pa, длина которого выбирается произвольно. В нашем случае она равна 80 мм (масштабный коэффициент построение ). Определяется величина вектора см/с2 и затем он пристраивается к концу вектора . Через конец вектора проводится линия перпендикулярная AB, а через начало вектора проводится линия параллельная ходу ползуна. Построение завершается расстановкой стрелок. Все искомые величины измеряются и с учетом масштаба определяются: см/с2; см/с2; Рис. 3.4 Направления ускорений точек механизма Рис. 3.5 Графическое определение ускорений 12 По рис. 3.5 можно установить, что направлено против часовой стрелки. Аналогично определяется ускорение точки C, величины слагаемых векторов вычисляются по формулам: Величина ускорения измеряется: см/с2. Итог расчета представлен в таблице. 20 см/с 26,46 см/с 49,28 см/с2 62,56 см/с2 0,577 с-1 0,667 с-2 13 Задание 4. Исследуемая механическая система, изображенная на рис. 4.1, состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует сила Н. На диск 2 действует момент сил сопротивления Нм, зависящий от угловой скорости тела 2. В начальный момент времени t = 0 система находится в покое. Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны кг, кг, кг. Радиусы больших и малых окружностей колес м, м, м. Радиус инерции колеса 1 относительно его оси вращения – м. Номер тела приведения – 1. Рис. 4.1 Схема механизма Требуется: 1. Определить грузоподъемность механизма. Вычислить реакции внешних и внутренних связей в случае равновесия механизма при максимальной нагрузке. 2. Нарисовать кинематическую схему механизма. Выразить перемещения, скорости, ускорения тел 2 и 3 через угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение тела 1. 14 3. Применяя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для механической системы, составить дифференциальное уравнение механизма, отнеся его к телу 1. 4. Решить дифференциальное уравнение и установить закон движения тела 1 φ= φ (t) а также его угловую скорость ω1 = ω1(t). 5. Используя полученное решение и найденные в п. 2 кинематические соотношения, составить уравнения движения тел 2 и 3.Найти выражения для скоростей и ускорений всех трех тел. 6. Построить графики зависимости углового ускорения и угловой скорости колеса 1 в зависимости от времени. Определить кинематические параметры установившегося движения всех тел, а также время установления движения. 7. Применяя принцип Даламбера, найти динамические реакции опор для колес, силу натяжения троса, соединяющего колеса 1 и 2, силу натяжения троса, на котором висит груз 3. Оценить их максимальные значения. 8. Вычислить мощность силы P, определить ее максимальное значение. 9. Найти работу силы P на перемещении, соответствующем времени установлении движения. 10. Применяя принцип возможных перемещений, определить при каком значении силы давления Q на тормозную колодку в начальный момент времени t = 0 механизм не тронется с места, если колодка действует на колесо 2. 11. Сделать выводы. Решение. 1. ОПРЕДЕЛНИЕ ГРУЗОПОДЪЕМНОСТИ МЕХАНИЗМА Требуется провести статический анализ механизма, определить значение массы , при которой возможно равновесие системы. Найти усилие в тросе, на котором висит груз 3, определить реакции внешних опор диска и колеса; а также реакции действия колеса и диска друг на друга. Сравнивая 15 массы и массу , данную в условии, установить направление движения звеньев механизма. Для решения рассматривается равновесие каждого звена под действием сил, показанных на рисунке 4.2. Здесь – силы тяжести; – реакции подшипников; – силы натяжения троса, соединяющего звенья 1 и 3. . Рис. 4.2 Статическая схема механизма Уравнения равновесия для колеса 1 с грузом 3: 16 Для звена 2: Из уравнения (4.3) определяем массу : Из уравнения (4.1) имеем: Находим остальные реакции из уравнений (4.2) и (4.5): В равновесии натяжения троса, на котором висит груз, равно весу груза: Сравнивая заданную массу кг с массой , видим, что , значит сила P будет поднимать груз 3. 2. КИНЕМАТИКА МЕХАНИЗМА Требуется установить кинематические зависимости, выразив кинематические параметры тел 2 и 3 через параметры тела 1. На рисунке 4.3 введены обозначения: – угловая скорость, угловое ускорение, угловое перемещение тела 1; – то же для тела 2; – линейная скорость, ускорение и перемещение тела 3. Движение от тела 1 к телу 2 передается фрикционно и скорости точек, лежащих на касающихся окружностях, равны , отсюда Касательные ускорения этих точек тоже равны, следовательно, : 17 Рис. 4.3 Кинематическая схема Равны и линейные перемещения этих точек : Груз висит на тросе, который намотан на колесо радиуса , поэтому Ускорение груза 3 равно касательному ускорению точки, которая принадлежит большой окружности колеса 1: Линейные перемещения груза 3 и точки на окружности радиуса равны Формулы, полученные в этом параграфе, будут использоваться в дальнейших вычислениях. 18 3. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА Требуется составить динамическое дифференциальное уравнение движения механизма, приведя его к 1-ому телу, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на систему Система состоит из твердых тел, проскальзывание между которыми при передаче движения отсутствует, поэтому сумма мощностей всех внутренних сил системы равна нулю. Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в предыдущей главе. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении Тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетическая энергия вычисляется по следующим формулам: Тело 3 движется поступательно, поэтому – момент инерции тела 1 относительно его оси вращения, он равен кг·м2; – момент инерции тела 2 относительно оси его вращения, он равен кг·м2. С учетом формул (4.7) – (4.12) получается выражение для кинетической энергии: 19 Для заданной механической системы мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность внешних сил. В общем случае мощность силы определяется формулой , где – величина силы; – скорость точки приложения силы; – угол между направлением силы и направлением скорости. Силы тяжести тел 1 и 2, а также реакции опор , , , приложены к неподвижным точкам и поэтому их мощности равны нулю (см. рис. 4.4). Мощность силы P равна Мощность силы притяжения равна Мощность пары сил, действующей на вращающееся тело, вычисляется как взятое со знаком + или – произведение момента пары на угловую скорость тела, поэтому мощность момента сил сопротивления вычисляется по формуле . Сумма мощностей всех внешних сил с учетом формул п. 2 равна Подстановка заданных величин позволяет вычислить суммарную мощность: Дифференциальное уравнение движения имеет вид: 20 Рис. 4.4 Динамическая схема к вычислению мощностей сил 4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Дифференциальное уравнение (4.17) является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если разделить его на коэффициент перед старшей производной, то уравнение приобретает вид Решение этого уравнения отыскивается в виде , где – решение однородного уравнения а – частное решение уравнения (4.18). Для решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение 21 Корни характеристического уравнения Решение, соответствующее корням характеристического уравнения, имеет вид где и – константы интегрирования. Частное решение уравнения (4.18) отыскивается по виду правой части: Константа A определяется после подстановки в уравнение (4.18): отсюда . Общее решение уравнения (4.18) имеет вид Константы и определяются из начальных условий: при , и . Вычислим угловую скорость, взяв производную Выполнение начальных условий дает два алгебраических уравнения: Из этих уравнений . Окончательное решение уравнения (4.18) имеет вид 5. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ВСЕХ ТЕЛ МЕХАНИЗМА, ФОРМУЛЫ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ЭТИХ ТЕЛ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ В предыдущем параграфе формула 22 определяет закон движения тела 1, а формула дает закон изменения угловой скорости тела 1 по времени. Продифференцируем правую и левую части последнего равенства и определим угловое ускорение колеса 1: Воспользовавшись кинематическими зависимостями (4.7) – (4.9), получим закон движения тела 2 и формулы и : С помощью формул (4.10) – (4.12) получим законы изменения параметров движения тела 3: 6. ГРАФИК ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВО ВРЕМЕНИ. ХАРАКТЕРИСТИКИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ Требуется с помощью уравнений, полученных в п. 5, построить графики угловой скорости, ускорения и перемещения колеса 1 по формулам из п. 6 и по ним определить характеристики установившегося движения. Для построения графиков воспользуемся программой Microsoft Excel. На рисунке видно, что а с-1. Отсюда можно сделать вывод, что примерно через 12 с после начала разгона механизма из состояния покоя его движение «устанавливается» и все звенья продолжают двигаться с постоянными скоростями. Таким образом, время установления движения 23 Параметры установившегося движения: Рис. 4.5 Угловая скорость (ω, с-1 – ряд 1) и угловое ускорение (ε, с-2 – ряд 2) тела 1 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ОПОР Требуется вычислить реакции внешних опор звеньев 1 и 2, а также силу натяжения троса. Для определения сил реакций опор и силы натяжения троса между телами 1 и 3 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера. Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неѐ выполняются уравнения статики. Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор так же как и в п. 1 и к ним добавить моменты пары сопротивления . 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 5 10 15 20 t,с Ряд 1 Ряд 2 24 Силы инерции вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с соответствующими моментами , . Знак минус в этих формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения противоположны по направлениям. кг·м2 и кг·м2 – моменты инерции колеса и диска относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое движется поступательно, равна . Все силы и моменты изображены на рисунке 4.6. Рис. 4.6 Динамическая схема Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого тела в отдельности. Учитываем также силы в сцеплении и . Система сил, действующих на тела 1 и 3, плоская, поэтому следует составить три уравнения: 25 Аналогично составляем уравнения сил, действующих на тело 2: Из уравнения (4.34) определим : Подставляя значения всех величин и используя формулу (4.25) для углового ускорения и формулу (4.24) для угловой скорости , получим значение силы сцепления диска 2 с колесом 1 в виде функции от времени: Для оценки максимального значения, рассмотрим функцию . При эта функция равна 1, а если , то функция . Отсюда можно сделать вывод, что сила имеет максимальное значение при : Н. Из уравнений (4.32) и (4.33) найдем реакции неподвижной шарнирной опоры и , а из (4.29) и (4.30) найдем и : Максимальные значения сил: ; . Аналогично 26 Максимальные значения сил: ; Н. Сила имеет максимальное значение в момент времени , когда механизм трогается с места. Для определения силы натяжения троса, на котором висит груз 3, применим принцип Даламбера к грузу. Векторная сумма всех сил, действующих на тело 3, включая силу инерции Даламбера, равна 0. В проекции на ось будем иметь: Подставляя известные значения, получим: Максимальное значение эта сила имеет в момент времени : 8. МОЩНОСТЬ ВЕДУЩЕГО УСИЛИЯ Ведущим усилием для рассматриваемого механизма является сила . Мощность силы вычисляется по формуле , где – скорость точки приложения силы , 0º – угол между направлением силы и скорости. Используя формулу (4.21), получим Максимальное значение мощность ведущего усилия имеет при установившемся движении Вт = 5,8338 кВт. 9. РАБОТА ВЕДУЩЕГО УСИЛИЯ НА ПЕРЕМЕЩЕНИИ, СООТВЕТСТВУЮЩЕМ ВРЕМЕНИ УСТАНОВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Работа силы, приложенной к вращательному телу, вычисляется по формуле: 27 где – момент силы относительно оси вращения тела 1. В нашем случае момент силы относительно оси вращения постоянен и равен Нм, поэтому работу силы следует вычислять по формуле: Знак + выбран потому, что направление момента силы и направление вращения колеса 1 совпадают. Вычислим значение угла поворота для момента времени, за которое движение механизма устанавливается с, по формуле (4.20) Искомое значение работы: 10. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Требуется, применяя принцип возможных перемещений, определить при каком значении силы давления на тормозную колодку в начальный момент времени механизм не тронется с места, если колодка действует на диск 2 в точке A. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю: Определим предельное значение силы, которая будет удерживать механизм в равновесии при заданных массах звеньев. Сопротивление, зависящее от скорости в этом случае равно 0. На рисунке 4.7 изображены активные силы, действующие на механизм. Это сила , силы тяжести звеньев и груза 3. Действие силы на колодку передается на диск 2 в точке через силу давления и силу трения . В 28 случае равновесия механизма, возможные перемещения звеньев механизма будут соответственно равны и . Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы, связи, наложенные на систему, являются стационарными и голономными, поэтому зависимости между возможными перемещениями таки же, как между действительными перемещениями, определенными формулами (4.9) и (4.12). Рис. 4.7 Расчетная схема для принципа возможных перемещений Дадим механизму возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил. 29 Получаем значение искомой силы: При значении силы Н механизм не тронется с места. 11. ВЫВОДЫ Методами статики исследовано состояние равновесия подъемного механизма и установлена грузоподъемность, реакции внешних опор и сил натяжения тросов при максимальной нагрузке. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме получено дифференциальное уравнение движения механической системы, после интегрирования которого, установлены законы движения всех тел и получены формулы изменения их скоростей и ускорений. Для определения сил натяжения тросов и реакций связей был применен принцип Даламбера. Построены графики изменения параметров движения тела 1. По графику угловой скорости видно, что через некоторое время угловая скорость колеса 1 становится постоянной и равной с-1, это значит, что движение устанавливается, и все тела движутся равномерно. Время установления Определены силы натяжения троса. Установлены законы изменения значений этих сил и определены их максимальные значения. Вычислены реакции внешних связей и их максимальные значения. 30 Установлена зависимость мощности ведущего усилия Р от времени и определено еѐ максимальное значение кВт. Определена работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. Принцип возможных перемещений применен для определения тормозящего усилия Q, необходимого для удержания механизма в равновесии. Таким образом, методами теоретической механики исследована статика, кинематика и динамика подъѐмного механизма. 31 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов / С.М.Тарг; М.: Высшая школа,1998. 416 с. 2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособ. для втузов. М.:Интеграл-Пресс, 2001. 384 с.

Способ заказа и контакты