Эконометрия

Используя результаты проверки девяти мукомольных предприятий, построить эконометрическую модель, характеризующую зависимость между объемом выпущенной продукции (Y), объемом грузооборота (Х1) и фондоемкостью (Х2) в виде линейной функции.

Используя результаты проверки девяти мукомольных предприятий, построить эконометрическую модель, характеризующую зависимость между объемом выпущенной продукции (Y), объемом грузооборота (Х1) и фондоемкостью (Х2) в виде линейной функции. Y=a0+a1x1+a2x2+e. 1.3. Найти ковариационную матрицу А^. Наблюдение № Объем продукции Y Грузооборот Х1 Фондоемкость Х2 1 8,4 2,1 2,8 2 7 2,1 3,5 3 8 2 4 4 8,4 2,8 4,2 5 9 3 4 6 8,8 3,2 4,6 7 9,1 3,5 4,9 8 9 4 5 9 9,8 3,9 5,3 Решение. Строим многофакторную экономическую модель, которая обобщённо имеет вид: у=а0+а1х1+а2х2+е, где у — зависимая переменная, х1, х2 — независимые переменные, а0, а1, а2 — параметры модели (элементы матрицы А^) е — не наблюдаемая случайная величина. Параметры данной модели найдём из системы нормальных уравнений: В матричной форме эту систему можно записать в виде (ХТ•Х)А−=ХТ•Y. х12 х22 у2 х1•х2 х1•у х2•у 4,41 7,84 70,56 5,88 17,64 23,52 4,41 12,25 49 7,35 14,7 24,5 4 16 64 8 16 32 7,84 17,64 70,56 11,76 23,52 35,28 9 16 81 12 27 36 10,24 21,16 77,44 14,72 28,16 40,48 12,25 24,01 82,81 17,15 31,85 44,59 16 25 81 20 36 45 15,21 28,09 96,04 20,67 38,22 51,94 83,36 167,99 672,41 117,53 233,09 333,31 Оценку параметров находим по формуле А^ =(ХТ•Х)−1•ХТ•Y. 1 2,1 2,8 1 2,1 3,5 1 2 4 1 2,8 4,2 1 3 4 1 3,2 4,6 1 3,5 4,9 1 4 5 1 3,9 5,3 8,4 7 8 8,4 9 8,8 9,1 9 9,8 Х = Y = Транспонированная матрица 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2,1 2,1 2 2,8 3 3,2 3,5 4 3,9 2,8 3,5 4 4,2 4 4,6 4,9 5 5,3 ХТ = 9 26,6 38,3 26,6 83,36 117,53 38,3 117,53 167,99 77,5 233,09 333,31 ХТ•Х = ХТ•Y = Найдём матрицу, обратную к матрице B=ХТ•Х. 9 26,6 38,3 Δ =│ ХТ•Х│= 26,6 83,36 117,53 = 38,3 117,53 167,99 = 9• (83,36•167,99 –117,53•117,53)–26,6•(26,6•167,99– 117,53•38,3)+ +38,3•(26,6•117,53–83,36•38,3) = 44,58 Вычислим алгебраические дополнения матрицы В: 83,36 117,53 B11 = = 190,35 ; 117,53 167,99 26,6 38,3 B21 = – = 32,86 ; 117,53 167,99 26,6 38,3 B31 = = -66,39 ; 83,36 117,53 26,6 117,53 B12 = – = 32,86 ; 38,3 167,99 9 38,3 B22 = = 45,02 ; 38,3 167,99 9 38,3 B32 = – = -38,99 ; 26,6 117,53 26,6 83,36 B13 = = -66,39 ; 38,3 117,53 9 26,6 B23 = – = -38,99 ; 38,3 117,53 9 26,6 B33 = = 42,68 ; 26,6 83,36 В11 В21 В31 1 А = В−1 = — В12 В22 В32 Δ В13 В23 В33 Рассчитаем вектор регрессионных коэффициентов. 190,35 32,86 -66,39 1 (ХТ•Х)–1 = A = ——— 32,86 45,02 -38,99 44,58 -66,39 -38,99 42,68 4,27 0,74 -1,49 77,5 6,3626 А^ = (ХТ•Х)–1× (ХТ•Y) = 0,74 1,01 -0,87 × 233,09 = 1,01 -1,49 -0,87 0,96 333,31 -0,1625 Регрессионная модель имеет вид: у = 6,3626 + 1,01х1 – 0,1625х2

Выполнить группирование по различным признакам: расположение торговой точки; число работников; время работы; площадь, занимаемая торговым залом.

Задача 1 Вновь образованное малое предприятие решило открыть ряд торговых точек в разных районах города. Для успешного ведения дел необходимо произвести анализ хозяйственной деятельности аналогичных торговых фирм и структур. Собранная информация сведена в таблицу 10. На основании такой информации необходимо: 1. Выполнить группирование по различным признакам: расположение торговой точки; число работников; время работы; площадь, занимаемая торговым залом. 2. Оценить: наибольшую целесообразность размещения торговой точки в определенном районе; удельную прибыль с 1 м2 площади; выручку, отнесенную на одного работающего. 3. Предложить торговую политику фирмы. Таблица 10 Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работников Продолжи-тельность работы Оценивае-мая прибыль, тыс. у.д.е. 1 Раковка 6 3 1 смена 0.9 3 Крюков 12 2 2 смены 0.7 4 Молодежный 11 5 2 смены 1.2 6 Центр 7 2 2 смены 0.9 7 Центр 12 5 2 смены 1.5 9 Центр 14 4 1 смена 1.5 10 Центр 18 7 3 смены 1.9 11 Раковка 11 2 2 смены 0.6 12 Молодежный 19 6 2 смены 2.1 13 Молодежный 21 6 3 смены 2.2 14 Молодежный 18 5 1 смена 1.8 15 Крюков 15 5 1 смена 0.9 16 Крюков 11 2 2 смены 1.1 17 Молодежный 14 3 2 смены 1.5 18 Центр 9 3 2 смены 1.8 19 Центр 13 5 1 смена 1.7 20 Крюков 7 4 1 смена 1.1 Решение Выполним группировку по местоположению. Таких групп будет четыре: Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работников Продолжи-тельность работы Оцениваемая прибыль, тыс. у.д.е. 1 Раковка 6 3 1 смена 0.9 11 Раковка 11 2 2 смены 0.6 3 Крюков 12 2 2 смены 0.7 15 Крюков 15 5 1 смена 0.9 16 Крюков 11 2 2 смены 1.1 20 Крюков 7 4 1 смена 1.1 4 Молодежный 11 5 2 смены 1.2 12 Молодежный 19 6 2 смены 2.1 13 Молодежный 21 6 3 смены 2.2 14 Молодежный 18 5 1 смена 1.8 17 Молодежный 14 3 2 смены 1.5 6 Центр 7 2 2 смены 0.9 7 Центр 12 5 2 смены 1.5 9 Центр 14 4 1 смена 1.5 10 Центр 18 7 3 смены 1.9 18 Центр 9 3 2 смены 1.8 19 Центр 13 5 1 смена 1.7 Для группирования торговых точек по числу работников, по времени работы; по площади, занимаемой торговым залом воспользуемся формулой Стерджесса для определения оптимального количества групп: n = 1 + 3,322* lg N где N - численность единиц совокупности. В нашем случае N = 17. Таким образом n = 1 + 3,322* lg 17 = 5 Будем исходить из того, что все пять интервалов равные. В случае равных интервалов величина интервала может быть определена как Рассчитаем величины интервалов для а) числа работников i = (7 – 2) / 5 = 1 чел. б) времени работы i = (3 – 1) / 5 = 0,4 смены В этом случае интервал получается дробным числом, что нецелесообразно. Примем количество групп по времени работы равным 3. в) площади, занимаемой торговым залом i = (21 – 6) / 5 = 3 кв.м. Теперь произведем распределение торговых точек по: а) числу работников Номер группы Диапазон Число работников Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Продолжи-тельность работы Оцениваемая прибыль, тыс. у.д.е. 1 2≤Х<3 2 3 Крюков 12 2 смены 0.7 2 6 Центр 7 2 смены 0.9 2 11 Раковка 11 2 смены 0.6 2 16 Крюков 11 2 смены 1.1 2 3≤Х<4 3 1 Раковка 6 1 смена 0.9 3 17 Молодежный 14 2 смены 1.5 3 18 Центр 9 2 смены 1.8 3 4≤Х<5 4 9 Центр 14 1 смена 1.5 4 20 Крюков 7 1 смена 1.1 4 5≤Х<6 5 4 Молодежный 11 2 смены 1.2 5 7 Центр 12 2 смены 1.5 5 14 Молодежный 18 1 смена 1.8 5 15 Крюков 15 1 смена 0.9 5 19 Центр 13 1 смена 1.7 5 6≤Х≤7 6 12 Молодежный 19 2 смены 2.1 6 13 Молодежный 21 3 смены 2.2 7 10 Центр 18 3 смены 1.9 б) времени работы Номер группы Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работников Продолжи-тельность работы Оценивае-мая прибыль, тыс. у.д.е. 1 1 Раковка 6 3 1 смена 0.9 9 Центр 14 4 1 смена 1.5 14 Молодежный 18 5 1 смена 1.8 15 Крюков 15 5 1 смена 0.9 19 Центр 13 5 1 смена 1.7 20 Крюков 7 4 1 смена 1.1 2 3 Крюков 12 2 2 смены 0.7 4 Молодежный 11 5 2 смены 1.2 6 Центр 7 2 2 смены 0.9 7 Центр 12 5 2 смены 1.5 11 Раковка 11 2 2 смены 0.6 12 Молодежный 19 6 2 смены 2.1 16 Крюков 11 2 2 смены 1.1 17 Молодежный 14 3 2 смены 1.5 18 Центр 9 3 2 смены 1.8 3 10 Центр 18 7 3 смены 1.9 13 Молодежный 21 6 3 смены 2.2 в) площади, занимаемой торговым залом Номер группы Диапазон Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работни ков Продолжи-тельность работы Оцениваемая прибыль, тыс. у.д.е. 1 6≤Х<9 1 Раковка 6 3 1 смена 0.9 6 Центр 7 2 2 смены 0.9 20 Крюков 7 4 1 смена 1.1 2 9≤Х<12 18 Центр 9 3 2 смены 1.8 4 Молодежный 11 5 2 смены 1.2 11 Раковка 11 2 2 смены 0.6 16 Крюков 11 2 2 смены 1.1 3 12≤Х<15 3 Крюков 12 2 2 смены 0.7 7 Центр 12 5 2 смены 1.5 19 Центр 13 5 1 смена 1.7 9 Центр 14 4 1 смена 1.5 17 Молодежный 14 3 2 смены 1.5 4 15≤Х≤18 15 Крюков 15 5 1 смена 0.9 10 Центр 18 7 3 смены 1.9 14 Молодежный 18 5 1 смена 1.8 5 18<Х≤21 12 Молодежный 19 6 2 смены 2.1 13 Молодежный 21 6 3 смены 2.2 Оценим удельную прибыль с 1 м2 площади: Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работников Продолжительность работы Оцениваемая прибыль, тыс. у.д.е. Удельная прибыль с 1 м2 площади Прибыль на одного ра-ботающего 18 Центр 9 3 2 смены 1,8 0,2 0,6 20 Крюков 7 4 1 смена 1,1 0,16 0,28 1 Раковка 6 3 1 смена 0,9 0,15 0,3 6 Центр 7 2 2 смены 0,9 0,13 0,45 7 Центр 12 5 2 смены 1,5 0,13 0,3 19 Центр 13 5 1 смена 1,7 0,13 0,34 4 Молодежный 11 5 2 смены 1,2 0,11 0,24 9 Центр 14 4 1 смена 1,5 0,11 0,38 10 Центр 18 7 3 смены 1,9 0,11 0,27 12 Молодежный 19 6 2 смены 2,1 0,11 0,35 17 Молодежный 14 3 2 смены 1,5 0,11 0,5 13 Молодежный 21 6 3 смены 2,2 0,1 0,37 14 Молодежный 18 5 1 смена 1,8 0,1 0,36 16 Крюков 11 2 2 смены 1,1 0,1 0,55 3 Крюков 12 2 2 смены 0,7 0,06 0,35 15 Крюков 15 5 1 смена 0,9 0,06 0,18 11 Раковка 11 2 2 смены 0,6 0,05 0,3 Оценим прибыль, отнесенную на одного работающего: Торговая точка Месторас-положение Торговая площадь, м2 Число работников Продолжительность работы Оцениваемая прибыль, тыс. у.д.е. Удельная прибыль с 1 м2 площади Прибыль на одного ра-ботающего 18 Центр 9 3 2 смены 1,8 0,2 0,6 16 Крюков 11 2 2 смены 1,1 0,1 0,55 17 Молодежный 14 3 2 смены 1,5 0,11 0,5 6 Центр 7 2 2 смены 0,9 0,13 0,45 9 Центр 14 4 1 смена 1,5 0,11 0,38 13 Молодежный 21 6 3 смены 2,2 0,1 0,37 14 Молодежный 18 5 1 смена 1,8 0,1 0,36 3 Крюков 12 2 2 смены 0,7 0,06 0,35 12 Молодежный 19 6 2 смены 2,1 0,11 0,35 19 Центр 13 5 1 смена 1,7 0,13 0,34 1 Раковка 6 3 1 смена 0,9 0,15 0,3 7 Центр 12 5 2 смены 1,5 0,13 0,3 11 Раковка 11 2 2 смены 0,6 0,05 0,3 20 Крюков 7 4 1 смена 1,1 0,16 0,28 10 Центр 18 7 3 смены 1,9 0,11 0,27 4 Молодежный 11 5 2 смены 1,2 0,11 0,24 15 Крюков 15 5 1 смена 0,9 0,06 0,18 Из проведенного анализа видно, что наиболее значительное влияние на сумму зарабатываемой прибыли оказывает местоположение торговой точки. Численность работников и площадь, занимаемая торговым залом в меньшей степени влияют на сумму прибыли. Более предпочтителен двух- или трехсменный режим работы точки.

Какие факторы, на Ваш взгляд, послужили первоочередной причиной снижения прибыли от производства изделия А

Анализ хозяйственной деятельности предприятия за определенный период показал, что в последнее время наблюдается уменьшение прибыли от производства некоторых изделий А. Для выработки правильного решения, которое может помочь оперативно отреагировать на изменение экономического положения предприятия решено обратиться к экспертам по экономическим вопросам и предложить им ответить на вопросы специально разработанной анкеты, которая приведена ниже. Результаты опросов сведены в таблицу 12. Необходимо осуществить обработку полученных результатов. Какие факторы, на Ваш взгляд, послужили первоочередной причиной снижения прибыли от производства изделия А? 1. Уменьшение платежеспособности населения. 2. Изменение уровня инфляции. 3. Повышение стоимости изделия. 4. Сезонное колебание объемов продаж. 5. Введение новых экономических законов (о запрещении хождения иностранной валюты, о налоге на недвижимость и т.д.) 6. Увеличение ставок таможенных пошлин. 7. Низкий уровень сервиса. 8. Малая сеть дилерских компаний. 9. Появление фирм-конкурентов, занятых выпуском товаров аналогичного назначения. 10. Снижение динамики совершенствования товара. Таблица 12 РЕЗУЛЬТАТЫ АНКЕТИРОВАНИЯ ЭКСПЕРТОВ ф а к т о р ы Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Э1 1 4 3 5 7 6 8 8 2 9 Э3 2 3 4 7 5 6 9 8 1 10 Э4 1 1 2 3 2 4 5 6 1 7 Э6 3 2 4 6 5 7 4 8 1 9 Э7 3 1 2 5 6 7 4 8 9 10 Э9 1 2 3 5 4 6 7 3 2 8 Э10 1 4 3 6 5 7 8 9 2 10 Э11 2 1 3 5 8 6 7 9 4 10 Э12 1 1 2 4 3 5 6 7 2 8 Э13 3 2 1 5 6 9 8 4 7 10 Э14 2 2 1 4 5 6 7 3 3 8 Э15 1 2 3 7 8 9 10 6 4 5 Решение Первоначально определяем сумму Sj пo каждому фактору: и строим ранжированный ряд Qij т.е. каждой сумме Sj присваивается порядковый номер, соответствующий ее месту в ранжированном ряду этих сумм. Определяем также сумму ранговых оценок в каждой строке таблицы 1. Таблица 1 Эксперт Факторы Xi,j = 1...10 Σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Э1 1 4 3 5 7 6 8 8 2 9 53 Э3 1 2 1 5 6 4 8 7 3 9 46 Э4 2 3 4 7 5 6 9 8 1 10 55 Э6 1 1 2 3 2 4 5 6 1 7 32 Э7 2 1 3 5 6 8 7 9 4 10 55 Э9 3 2 4 6 5 7 4 8 1 9 49 Э10 2 2 4 5 7 6 8 3 1 8 46 Э11 1 2 3 5 4 6 7 3 2 8 41 Э12 2 1 3 5 8 6 7 9 4 10 55 Э13 1 1 2 4 3 5 6 7 2 8 39 Э14 3 2 1 5 6 9 8 4 7 10 55 Э15 1 2 3 7 8 9 10 6 4 5 55 Sj 20 23 33 62 67 76 87 78 32 103 581 Ранг, Q1j 1 2 4 5 6 7 9 8 3 10 55 Поскольку сумма рангов не во всех строках таблицы равна Sk = k*(k+1) / 2 = 10*11/2 = 55 то эти строки необходимо пронормировать. Для этого группам факторов, имеющих одинаковые ранги, присваивается новое значение ранга, равное среднему от суммы мест, занятых данной группой. Остальным же факторам присваиваются ранги, соответствующие их месту в ранжированном ряду. Получаем таблицу 2 с нормированными рангами: Таблица 2 Эксперт Факторы Σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Э1 1 4 3 5 7 6 8,5 8,5 2 10 55 Э3 2 3 4 7 5 6 9 8 1 10 55 Э4 2 2 4,5 6 4,5 7 8 9 2 10 55 Э6 3 2 4,5 7 6 8 4,5 9 1 10 55 Э7 3 1 2 5 6 7 4 8 9 10 55 Э9 1 2,5 4,5 7 6 8 9 4,5 2,5 10 55 Э10 1 4 3 6 5 7 8 9 2 10 55 Э11 2 1 3 5 8 6 7 9 4 10 55 Э12 1,5 1,5 3,5 6 5 7 8 9 3,5 10 55 Э13 3 2 1 5 6 9 8 4 7 10 55 Э14 2,5 2,5 1 6 7 8 9 4,5 4,5 10 55 Э15 1 2 3 7 8 9 10 6 4 5 55 Sj 23 27,5 37 72 73,5 88 93 88,5 42,5 115 660 Ранг, Q2j 1 2 3 5 6 7 9 8 4 10 55 Теперь строки пронормированы, о чем также свидетельствует и сумма в строке Sj, которая должна быть равна произведению суммы в строке экспертов на количество экспертов, т. е. 55 • 12 = 660. Остается отсортировать факторы в порядке возрастания их рангов Q2j. Таблица 3 Эксперт Факторы Σ 1 2 3 9 4 5 6 8 7 10 Э1 1 4 3 2 5 7 6 8,5 8,5 10 55 Э3 2 3 4 1 7 5 6 8 9 10 55 Э4 2 2 4,5 2 6 4,5 7 9 8 10 55 Э6 3 2 4,5 1 7 6 8 9 4,5 10 55 Э7 3 1 2 9 5 6 7 8 4 10 55 Э9 1 2,5 4,5 2,5 7 6 8 4,5 9 10 55 Э10 1 4 3 2 6 5 7 9 8 10 55 Э11 2 1 3 4 5 8 6 9 7 10 55 Э12 1,5 1,5 3,5 3,5 6 5 7 9 8 10 55 Э13 3 2 1 7 5 6 9 4 8 10 55 Э14 2,5 2,5 1 4,5 6 7 8 4,5 9 10 55 Э15 1 2 3 4 7 8 9 6 10 5 55 Sj 23 27,5 37 42,5 72 73,5 88 88,5 93 115 660 Ранг, Q2j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 Очевидно, что ранги Q2j в таблице 2 (до сортировки) идентичны рангам Q1j в таблице 1, из чего следует что нормированные данные адекватны исходным. При этом коэффициент корреляции будет равен 1. Для оценки достоверности информации необходимо проверить справедливость гипотезы о равномерном распределении мнений экспертов с помощью χ2-критерия Пирсона, который можно определить по формуле: где m і - интервальные (абсолютные) частоты; k - число интервалов эмпирического распределения; п - размер выборки; n - теоретические вероятности попадания случайной величины Х в соответствующие интервалы; w i. = m і / n - эмпирические частости (вероятности) попадания случайной величины X в соответствующие интервалы Частоты m і подсчитываем по числу экспертных оценок для і-го фактора, которые попали в соответствующий интервал. Общее число таких оценок n = 49. Интервал 0,5; 1,5 1,5;2,5 2,5;3,5 3,5;4,5 4,5;5,5 5,5;6,5 6,5;7,5 7,5;8,5 8,5;9,5 9,5;10,5 Σ m і 4 6 5 4 4 4 4 3 4 11 49 Эмпир. частости w i. = m і / n 0,082 0,122 0,102 0,082 0,082 0,082 0,082 0,061 0,082 0,224 1 Теор. вероятности p i 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1 Построим графическое изображение дискретного вариационного ряда в виде полигона частот. Рис. 1. Полигон распределения экспертных оценок по степени значимости факторов Поскольку интервалов ровно 10, то теоретические частоты для равномерного закона распределения равны p i = 1/10. Необходимым условием применения критерия χ2 Пирсона является число наблюдений в каждом интервале не менее пяти. Поэтому объединяем соседние интервалы, суммируя при этом соответствующие частоты: Интервал 0,5;2,5 2,5;4,5 4,5;6,5 6,5;7,5 7,5;9,5 9,5;10,5 Σ m і 10 9 8 4 7 11 49 w i. = m і / n 0,204 0,184 0,163 0,082 0,143 0,224 1 p i 0,2 0,2 0,2 0,1 0,2 0,1 1 (w i. - p i)2 * n / p i 0,004 0,065 0,331 0,165 0,800 7,594 8,959 Вследствие объединения число интервалов уменьшилось до шести. Таким образом, значения критерия χ2 = 8,959. Критическое значение статистики χ2 на уровне значимости а = 0,05 и 6-1 = 5 степенями свободы χ2кр = 11,07. Поскольку χ2 < χ2кр, то гипотеза о равномерном распределении мнений экспертов согласуется с эмпирическими данными, из чего следует, что полученные оценки нельзя считать достоверными и опрос следует повторить.

Существует ли взаимосвязь между продолжительностью работы магазина и суммой его суточной выручки.

Администрация магазина намерена увеличить продолжительность времени работы магазина. Для того, чтобы определить целесообразность такого шага, собрана статистическая информация о суммах выручки и времени работы магазина. Результаты сведены в таблицу 14. Определить, существует ли взаимосвязь между продолжительностью работы магазина и суммой его суточной выручки. Таблица 14 Продолжит. работы, час. 7 8 9 10 11 12 13 14 Средняя сумма выручки, тыс. у.д.е. 3,2 2,9 3,4 3,5 4,1 4,2 4,0 4,5 Решение Т.о. необходимо рассчитать коэфициент корреляции между продолжительностью работы магазина и суммой его суточной выручки. Определим средние значения продолжительности работы магазина и суммы его суточной выручки по формуле: Х пр = 10,5 ч. Х св = 3,725 тыс. у.д.е. Стандартные ошибки этих величин рассчитаем по формуле: S пр = S св = Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле: Его величина равна 0,924984. Т.е. коэффициент корреляции положителен и близок к 1. Таким образом, продолжительность работы магазина оказывает весьма высокое влияние на сумму его суточной выручки

Использование дисперсионного анализа

Использование дисперсионного анализа. Ряд ремонтно-строительных фирм выполняют ремонт офисов и квартир по заказам их владельцев. При этом они применяют собственные технологии нанесения декоративных покрытий на внутренние стены помещений, имеющие соответствующую стоимость. Необходимо установить, влияет ли технология нанесения покрытия на его качество, выраженное по определенной бальной системе (с учетом шумопоглощения, долговечности, практичности и пр.). Если технология нанесения действительно влияет на качество покрытия, то необходимо проанализировать, нужно ли заказывать более дорогую технологию, или можно применить и более дешевую. Экспертами собрана статистическая информация, представленная в таблице 18. Таблица 18. РЕЗУЛЬТАТЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ О ц е н к а Фирмы 1 набл. 2 набл. 3 набл. 4 набл. 5 набл. 6 набл. B 8 10 11 12 9 13 C 13 11 12 10 8 9 D 12 10 12 14 9 8 E 9 8 10 11 9 8 F 12 10 14 10 13 8 G 9 10 8 11 14 9 H 9 12 10 9 8 10 Решение Метод дисперсионного анализа используют при проверке данных, полученных в результате аналитического группирования. Его цель – определить степень влияния исследуемых группировальных признаков на изменение результативных при нейтрализации других факторов. Т.к. полной нейтрализации достигнуть нельзя, то проводят дисперсионный анализ: рассчет по трем видам дисперсий: общей, факторной (межгрупповой) и остаточной (внутригрупповой). Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет влияния всех формирующих факторов: Межгрупповая дисперсия – характеризует вариацию результативного признака только за счет разных его значений между группами: Внутригрупповая дисперсия – характеризует вариацию результативного признака за счет других факторов, кроме его группировального признака. Выполняем рассчет с использованием надстройки пакета Microsoft Excel '"Анализ данных '". Результаты рассчета приведены ниже: Однофакторный дисперсионный анализ ИТОГИ Группы Счет Сумма Среднее Дисперсия B 6 63 10,5 3,5 C 6 63 10,5 3,5 D 6 65 10,83333333 4,966666667 E 6 55 9,166666667 1,366666667 F 6 67 11,16666667 4,966666667 G 6 61 10,16666667 4,566666667 H 6 58 9,666666667 1,866666667 Дисперсионный анализ Источник вариации SS df MS F P-Значение F критическое Между группами 16,90476 6 2,817460317 0,797394429 0,578445106 2,371781196 Внутри групп 123,6667 35 3,533333333 Итого 140,5714 41 В столбце SS приведены суммы квадратов (межгрупповая, внутригрупповая и полная); в столбце df — значения степеней свободы, а в столбце MS — дисперсии, межгрупповая и внутригрупповая. В столбце F записано значение критериальной статистики, в столбце '"Р-Значение '" — значение вероятности Р(Х ≥ х), где Х — случайная величина, имеющая F-распределение с df степенями свободы. В столбце '"F критическое '" приводится критическое значение t, рассчитанное в соответствии с заданным уровнем значимости. Рассчитаем степень влияния исследуемого факторного показателя на результативный путем деления значения межгрупповой дисперсии на общую: 2,82 / (2,82+3,83) = 0,42 Это означает, что по данной выборке фирм степень влияния технологии нанесения покрытия на его качество находится на уровне 42%. Степень влияния других факторов составляет 58%. Таким образом можно утверждать, что применение более дешевой технологии нанесения покрытия не столь существенно повлияет на его качество

Установить математическую зависимость объема выручки от реализации товаров бытовой техники в торгово-выставочном павильоне от количества потенциальных покупателей, посетивших павильон

Необходимо установить математическую зависимость объема выручки от реализации товаров бытовой техники в торгово-выставочном павильоне от количества потенциальных покупателей, посетивших павильон. Собранные статистические данные представлены в таблице 19. При решении задачи после установления факта выполнения предпосылок регрессионного анализа необходимо всю совокупность данных нанести на координатную плоскость, и затем, визуально определив вид аппроксимируемой кривой, выбрать систему линейных уравнений по таблице 6 и определить коэффициенты принятой кривой. Таблица 19 Серия набл. Кол-во клиентов Сумма выручки (пятикратное дублирование наблюдений) 1 1000 1280 1290 1210 1250 1270 3 1500 1900 1800 1850 1820 1900 4 1750 1950 2000 2100 1990 1980 5 2000 2300 2310 2290 2320 2300 6 2250 2400 2390 2480 2450 2460 7 2500 2600 2550 2580 2610 2620 8 2750 2800 2730 2750 2790 2780 Решение Определим групповое среднее и выборочную смещенную дисперсию: Серия набл. Кол-во клиентов Сумма выручки (пятикратное дублирование наблюдений) Групповое среднее Выборочная смещенная дисперсия 1 1000 1280 1290 1210 1250 1270 1260 21,343 3 1500 1900 1800 1850 1820 1900 1854 31,563 4 1750 1950 2000 2100 1990 1980 2004 18,937 5 2000 2300 2310 2290 2320 2300 2304 6,688 6 2250 2400 2390 2480 2450 2460 2436 9,478 7 2500 2600 2550 2580 2610 2620 2592 12,309 8 2750 2800 2730 2750 2790 2780 2770 4,965 Будем считать, что результаты наблюдений не зависят друг от друга и имеют нормальное распределение. Проверим по критерию Бартлетта гипотезу о равенстве групповых дисперсий. В нашем случае r = 7 ; ni = 5 ; n = 35 Найдем несмещенные оценки дисперсий по формулам _ _ S 12 = 5 * 21,343 / (5-1) = 26,678 S 22 = 5 * 31,563 / (5-1) = 36,789 _ _ S 32 = 5 * 18,937 / (5-1) = 22,543 S 42 = 5 * 6,688 / (5-1) = 7,923 _ _ S 52 = 5 * 9,478 / (5-1) = 11,582 S 62 = 5 * 12,309 / (5-1) = 15,906 _ S 72 = 5 * 4,965 / (5-1) = 6,843 Найдем общую несмещенную дисперсию по формуле _ S 2 = (5-1)*26,678+(5-1)*36,789+(5-1)*22,543+(5-1)*7,923+ +(5-1)*11,582+(5-1)*15,906+(5-1)*6,843 / 4 * 7 = 17,476 Вычислим параметр q = 1 / 1+1/(3*(7-1) * (1/4+1/4+1/4+1/4+1/4+1/4+1/4-1/4*4*4*4*4*4*4 = = 0,878 Вычислим статистику для критерия Бартлетта по формуле Ψ = 0,878* (5-1)*ln(17,476/26,678+…+(5-1)*ln(17,476/6,843)) = 4,756 Проверим гипотезу равенства групповых средних на уровне значимости α = 0,05. По таблицам распределения χ при α = 0,05 χ кр = 6,83. Так как Ψ = 4,756<6,83 , то гипотезу принимаем. Нанесем всю совокупность данных на координатную плоскость: Кол-во клиентов 2800 2400 2000 1600 1200 1000 1500 2000 2500 3000 Сумма выручки Для данного множества характерна линейная зависимость. Поэтому она характеризуется такой системой уравнений По исходным данным рассчитываем Σy, Σx, Σyx, Σx2, Σy2. У X ух х2 у2 Ух У -Ух 1 1260 1000 1260000 1000000 1587600 1360,71 -100,71 2 1854 1500 2781000 2250000 3437316 1782,57 71,43 3 2004 1750 3507000 3062500 4016016 1993,49 10,51 4 2304 2000 4608000 4000000 5308416 2204,42 99,58 5 2436 2250 5481000 5062500 5934096 2415,34 20,66 6 2592 2500 6480000 6250000 6718464 2626,27 -34,27 7 2770 2750 7617500 7562500 7672900 2837,20 -67,20 Итого 15220 13750 31734500 29187500 34674808 0,00 Среднее значение 2174,29 1964,29 4533500 4169643 4953544 X X σ 475,42 557,87 X X X X X σ2 226025,63 311224,49 X X X X X b = (4533500 - 2174,28 * 1964,28) / 311224,4 = 0,84 a = 2174,28 – 0,84 * 1964,28 = 517,01 Таким образом, уравнение линейной регрессии У = 517,01 + 0,84Х Т.е. с увеличением количества клиентов на 1 человека сумма выручки возрастает на 0,84 у.д.е.

Уравнение регрессии

1. Исследуем наличие зависимости между факторами х1 и х2. Она выражается линейной функцией вида: x2=а0+а1х1, параметры которой а0 и а1 находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая в свою очередь формируется на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для данного случая имеет вид: где суммирование проводится по всем (n=8) группам. Составим вспомогательную таблицу: Таблица 2 Номер группы x2 х1 х1x2 1 2 95 9025 190 2 2,1 155 24025 325,5 3 2,4 255 65025 612 4 2,3 445 198025 1023,5 5 3,9 185 34225 721,5 6 4,1 305 93025 1250,5 7 3,9 455 207025 1774,5 8 4 725 525625 2900 9 5 275 75625 1375 10 5,9 425 180625 2507,5 11 5,9 665 442225 3923,5 12 5,8 985 970225 5713 13 6,5 355 126025 2307,5 14 8,3 605 366025 5021,5 15 8,1 945 893025 7654,5 16 7,3 505 255025 3686,5 Сумма 77,5 7380 4464800 40986,5 Используя данные таблицы 2, получим сумму уравнений: Решаем систему уравнений с использованием функций Mіcrosoft Excel® Пусть дана определенная система линейных уравнений: Пользуясь матричными обозначениями данную систему можно записать в виде: А•Х=В, где , , . В данном случае: На листе Mіcrosoft Excel® решение будет выглядеть так: Матрица коэф. при а и b Матрица свободных членов 77,5 40986,5 16 7380 7380 4464800 Обратная матрица Решение 0,263062 -0,000434824 -0,00043 9,42707E-07 2,565437 0,004939 а0 а1 Решением системы являются значения: а0=2,56544; а1=0,00494. Таким образом, модель имеет вид: х2=2,56544+0,00494 х1. (1) Полученное уравнение называется уравнением регрессии, коэффициент а1 – коэффициент регрессии. Направление связи между у и х1 определяет знак коэффициента регрессии а1, так как перед а1 стоит знак «+», связь является прямой. Для нахождения зависимости у от х1 и х2 исследуем оператор А=(хтх)-1хту. запишем таблицу х 1 95 2 1 155 2,1 1 255 2,4 1 445 2,3 1 185 3,9 1 305 4,1 1 455 3,9 1 725 4 1 275 5 1 425 5,9 1 665 5,9 1 985 5,8 1 355 6,5 1 605 8,3 1 945 8,1 1 505 7,3 Запишем эту же таблицу транспонированной 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 95 155 255 445 185 305 455 725 275 425 665 985 355 605 945 505 2 2,1 2,4 2,3 3,9 4,1 3,9 4 5 5,9 5,9 5,8 6,5 8,3 8,1 7,3 Их произведение хтх: 16 7380 77,5 7380 4464800 40986,5 77,5 40986,5 440,99

Построить линейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи

В таблице представлены данные опроса нескольких групп семей о расходах на продукты питания в зависимости от уровня доходов семьи. Таблица 1. Доход семьи (х) 140 330 550 760 980 1200 1470 1890 Расходы на продукты питания (у) 110 140 200 240 280 310 350 400 Требуется: а) построить линейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи; б) рассчитать коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между доходами семьи и расходами на продукты питания; в) рассчитать коэффициент детерминации, коэффициент эластичности и бета-коэффициент и пояснить их экономический смысл. Решение: а) Так как требуется проанализировать зависимость величины душевого дохода семьи, то в соответствии с этим, первый показатель будет результативным признаком, обозначим его х1. Она выражается линейной функцией вида: у=а0+а1х1, параметры которой а0 и а1 находятся в результате решения системы нормальных уравнений, которая в свою очередь формируется на основе метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для данного случая имеет вид: где суммирование проводится по всем (n=8) группам. Составим вспомогательную таблицу: Таблица 2 Номер группы у х х2 ху 1 110 140 19600 15400 2 140 330 108900 46200 3 200 550 302500 110000 4 240 760 577600 182400 5 280 980 960400 274400 6 310 1200 1440000 372000 7 350 1470 2160900 514500 8 400 1890 3572100 756000 Сумма 2030 7320 9142000 2270900 Используя данные таблицы 2, получим сумму уравнений: Решаем систему уравнений с использованием функций Mіcrosoft Excel® Пусть дана определенная система линейных уравнений: Пользуясь матричными обозначениями данную систему можно записать в виде: А•Х=В, где , , . В данном случае: На листе Mіcrosoft Excel® решение будет выглядеть так: Матрица коэф. при а и b Матрица свободных членов 2030 2270900 8 7320 7320 9142000 Обратная матрица Решение 0,46753539 -0,000374356 -0,000374356 0 98,97266999 0,169155552 а0 а1 Решением системы являются значения: а0=98,9727; а1=0,16922. Таким образом, модель имеет вид: у=98,9727+0,1692 х1. (1) Полученное уравнение называется уравнением регрессии, коэффициент а1 – коэффициент регрессии. Направление связи между у и х1 определяет знак коэффициента регрессии а1, так как перед а1 стоит знак «+», связь является прямой. б) Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции (парным): где - средняя квадратическая ошибка уравнения (1) для числа степеней свободы n-2 (n=8): где – соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (1). Sy – средняя квадратическая ошибка выборки у: где – среднее арифметическое значение у: Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. Составим вспомогательную таблицу. Таблица 3. Номер группы у 1 110 122,6544 160,1350 -143,75 20664,06 2 140 154,7940 218,8625 -113,75 12939,06 3 200 192,0082 63,8685 -53,75 2889,063 4 240 227,5309 155,4787 -13,75 189,0625 5 280 264,7451 232,7116 26,25 689,0625 6 310 301,9593 64,6523 56,25 3164,063 7 350 347,6313 5,61059 96,25 9264,063 8 400 418,6767 348,8177 146,25 21389,06 сумма 2030 2030 1250,1371 0 71187,5 В данном случае: следовательно: Полученное значение свидетельствует о том, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная. в). Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результирующего признака под действием факторного признака. В данном случае это значит, что фактором душевого дохода можно обьяснить 97,66% изменения расходов на питание. Коэффициенты регрессии (в данном случае коэффициент а1) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент. Коэффициент эластичности для данной модели парной регрессии рассчитывается по формуле: Он показывает на сколько процентов изменяется результативный признак (у) при изменении факторного признака (х1) на один процент. В нашем случае коэффициент регрессии а1=0,1692; средние арифметические: Отсюда коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода будет равен: Это значит, что при увеличении душевого дохода на 1% расходы на питание увеличатся на 0,61%. Бета-коэффициент в этом случае задается формулой: где и - средние квадратические ошибки выборки величин (х1) и (у) соответственно из таблицы 1. Sx вычисляем по формуле: Величина уже была рассчитана и равна 8898,4375, поэтому величина отсюда Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения. В данном случае получаем следующее значение бета-коэффициента: т.е увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,99 среднеквадратического отклонения этих расходов.

Построить модель множественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерговооруженности

Результаты обследования нескольких статистически однородных филиалов фирмы приведены в таблице: № филиала Производительность труда (у) Фондовооруженность (х1) Энерговооруженность (х2) 1 74 33 56 2 84 34 58 3 73 36 67 4 93 35 70 5 56 33 73 6 71 37 77 7 117 39 78 8 111 42 99 9 136 43 93 10 125 44 96 11 140 46 102 Требуется: а) построить модель множественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерговооруженности; б) рассчитать парные коэффициенты корреляции и пояснить экономический смысл; в) найти коэффициент множественной корреляции и совокупный коэффициент детерминации и охарактеризовать степень совместного влияния факторов фондовооруженности и энерговоруженности на производительность труда; г) рассчитать частные коэффициенты корреляции, детерминации, эластичности и частные бета - коэффициенты и с их помощью оценить влияние отдельных факторов (при неизменном значении других). Решение: а) Рассмотрим двухфакторную линейную модель зависимости производительности труда (у) от величины фондовооруженности (х1) и энерговооруженности (х2). Множественный (многофакторный) корреляционно-регрессивный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае двухфакторная линейная модель имеет вид: ; (1) параметры модели а0, а1, а2 находятся путем решения системы нормальных уравнений: Используя данные таблицы, получим систему нормальных уравнений в виде: ; ; В данном случае: На листе Mіcrosoft Excel® это выглядит следующим образом: Матрица коэф. при а0, а1, а2 Матрица свободных членов 11 422 869 1080 422 16410 34055 42669 869 34055 71301 89015 Обратная матрица Решение: 13,3171 -0,63989 0,143322 а0 -163,3257955 -0,63989 0,037665 -0,01019 а1 8,909029475 0,143322 -0,01019 0,003135 а2 -1,016141182 Решив систему, получим: а0=-163,3258; а1=8,909; а2=-1,0161. Тогда модель: . б) Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции где черта над символами обозначает среднее арифметическое значение, а Sy, Sx1, Sx2 – средние квадратические ошибки, которые определяются по формулам: в) После этого вычисляем коэффициент множественной корреляции: Он может принимать значения в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак. В данном случае расчеты дают следующее значение коэффициента множественной корреляции: что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом, степень тесноты связи производительности труда с фондо- и энерговооруженностью очень высокая. Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере это означает что совместное влияние фондо- и энерговооруженности филиала объясняет на 86,61% изменение производительности труда. г) Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляций. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком (у) и факторным признаком (х1) при неизменном значении факторного признака (х2) рассчитывается по формуле: где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (3). Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком (у) и факторным признаком (х2) при неизменном значении факторного признака (х1). Для данного примера частные коэффициенты корреляции производительности труда от фондо- и энерговооруженности филиалов составляют: т.е. теснота связи между производительностью труда и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого: в первом случае – заметная, во втором – слабая. Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В этом случае следовательно влиянием фондовооружености (х1) при неизменной энерговооруженности (х2) поясняется 65,25% изменения производительности труда; и при влиянии энерговооруженности (х2) при неизменной фондовооруженности (х1) объясняет 22,69% изменения производительности труда. Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (1) рассматриваются по формулам: Черта над символом обозначает среднюю арифметическую величину. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным. В данном случае а1=8,9090; а2=-1,0161; у '=98,1818; х '1=38,3636; х '2=79; следовательно по формулам (6) получим: Это значит, что при увеличении фондовооруженности (х1) на 1% производительность труда (у) увеличивается на 3,48%, а при увеличении энерговооруженности (х2) на 1% производительность труда уменьшается на 0,82%. Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основании расчета частных бета - коэффициентов, которые для двухфакторной модели задаются формулами: Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов. В рассматриваемой задаче а1=8,9090; а2=-1,0161; Sy=27,6038; Sx1=4,4777; Sx2=15,5212. Подставим данные в формулы (7): Это значит, что при неизменной энерговооруженности (х2) изменение на величину среднеквадратического отклонения фондовооруженности (х1) приведет к увеличению среднего значения производительности труда на 1,45 их среднеквадратического отклонения, а при неизменной фондовооруженности (х1) увеличение энерговооруженности (х2) на величину его среднеквадратического отклонения приведет к снижению производительности труда на 0,57 их среднеквадратического отклонения

Исследование экономических процессов с помощью теории корреляции и регрессии

На рынке недвижимости стоимость прода¬ваемого помещения зависит от многих факторов. Опыт показывает, что наиболее важными среди них являются площадь продаваемого помеще¬ния и срок его эксплуатации. Установить зависимость между оценочной стоимо¬стью продаваемого помещения (Y) и его характеристиками: временем эксплуатации в годах (X1) и общей площадью (Х2). Парная модель зависимости стоимости помещения от срока его эксплуатации в годах: Y = f (Xt). 1. Построить график зависимости Y от Х1 и выбрать эконометрическую модель. 2. Решить выбранную эконометрическую модель с помощью метода наименьших квадратов (компьютерная программа Excel), сделать по ней расчеты стоимости здания и построить теоретическую линию регрессии на графике зависимости рассматриваемых показателей, 3. Оценить существенность взаимосвязи рассматриваемых показа¬телей с помощью коэффициента парной корреляции и корреляционного отношения. 4. Определить надежность эконометрической модели и возможность ее использования на практике. Решение 1. На основе графического и экономического анализов выбираем функцию взаимосвязи показателей Y и X1 вида: Y = Во + B1 ' X1. 2. Параметры этой модели Во и B1 определяем по таким формулам: 'N=25 ' число наблюдений. 'Получаем уравнение прямой линии: 'Y = 3,74'x + 317,84 3. Оценка тесноты взаимосвязей показателей с помощью коэффициента парной корреляции (ryx1) и корреляционного отношения 'y/x1. где Yp ' расчетное значение Y по модели; ' среднее значение Y. = 'Y / N Находим: ryx1 = 0,768; 'y/x1 = 0,768. 'Так как ryx1 и 'y/x1 близки к 1, то значения коэффициентов парной корреляции и корреляционного отношения показывают наличие достаточно тесной связи между показателями. 4. Проверим коэффициент корреляции на существенность по крите¬рию Z Фишера. Расчетный квантиль равен: где 'r ' найденное значение коэффициента корреляции; Находим: 'Z =1,015 'S = 0,213 'Up = 4,76 Так как Up > UT, где UT =1,96, то с вероятностью 95% можно утверж¬дать, что связь между рассматриваемыми показателями существенная. 5. Оценка точности разработанной модели проводится с помощью коэффициента вариации: ' где Находим: ос = 47,5 'V = 9,96 % Коэффициент вариации превосходит 5-7%, то рассчитанной моделью пользоваться нельзя

Способ заказа и контакты