Исследование операций

Рынок крема после бритья представлен фирмами Gillette, Arko, Эффект. Общий объем месячного рынка равен V (табл. 1). Покупки совершаются в среднем один раз в месяц. Данные опроса N потребителей представлены в таблице 2. Чистая прибыль фирмы Arko от продажи 1т продукции оптовым закупщикам составляет 4 тыс. у. е. После проведенной во втором месяце фирмой Arko рекламной кампании на мини-рынке, зафиксированы данные, представленные в таблице 3. Оценить целесообразность аналогичной кампании для Arko в масштабах общего рынка, если Arko планирует ее проведение в третьем месяце. Смета затрат на рекламу составляет 3000 тыс. у. е. Фирма рассчитывает, что на протяжении 2-х месяцев с момента проведения рекламной кампании не последует ответной реакции конкурентов.

Исходные данные представлены в таблицах: месячная емкость рынка V= 3600 (таблица 1). Таблица 2. Частота переходов от потребления одного вида продукции к другому От покупки К покупке Gillett Arko Эффект Gillett 400 500 100 Arko 280 1050 70 Эффект 60 150 390 N=3000 Таблица 3. Частота переходов от потребления одного вида продукции к другому От покупки К покупке Gillett Arko Эффект Gillett 148 518 74 Arko 119 1530 51 Эффект 84 224 252 Решение: Исходные данные заносим в таблицу 4 следующим образом. Если покупатель возвращает ярлык фирмы Gillett и снова покупает этот товар (в данном случае крем после бритья), то 1 прибавляем в ячейку пересечения строки «Gillett»и столбца «Gillett». Если покупатель возвращает ярлык фирмы Gillett и покупает товар фирмы Эффект, то 1 прибавляем в ячейку пересечения строки «Gillett» и столбца «Эффект». Чтобы избежать усложнения модели, варианты, когда сдается один ярлык, а покупаются другие товары, не фиксируются. Таблица 4 заполняется до достижения определенного заранее контрольного количества наблюдений (в данном случае 3000). Если в список исследуемых товаров попадают товары конкурентов или исследуется переход потребителей от использования продукции одной фирмы к использованию продукции другой, методом сбора исходной информации является панельный опрос по тем же критериям. Таблица 4. Частота переходов от потребления одного вида продукции к другому От покупки К покупке Сумма по строке Gillett Arko Эффект Gillett 400 500 100 1000 Arko 280 1050 70 1400 Эффект 60 150 390 600 Сумма по столбцам 740 1700 560 3000 Математическое описание изменения предпочтений потребителей выглядит следующим образом: изучаемая система (покупатели) может находиться в одном из состояний А1, А2,…Аm (в состоянии покупки товаров видов А, В, С), m – количество состояний системы (в данном случае m=3). Проводиться серия из N испытаний (общее количество переходов из одного состояния в другое), в методике N=3000. Предолагается, что переход от состояния Аi в состояние Аj (i, j=1, 2,...m) зависит только от номеров i и j и не зависит от результатов испытаний, предшествующих опыту, в результате которого система перешла в состояние Аi. Цепь Маркова считается заданной, если указаны начальные вероятности Zj (0), (j=1, 2,…m) и матрица переходов Р. В таблице 5 приведены все оценки вероятностей перехода, вычисленные по данным таблицы 4. Таблица 5. Вероятности изменения покупаательских предпочтений. От покупки товара i К покупке товара j Gillett Arko Эффект Gillett 0,4 0,5 0,1 Arko 0,2 0,75 0,05 Эффект 0,1 0,25 0,65 Приведенные в этой таблице вероятности называют марковскими переходными вероятностями и образуют квадратную матрицу вероятностей перехода Р. Матрица соответствует числу возможных переходов. (1) Для данного случая обозначим i и j через А, В, С. Примем, что А – крем фирмы Gillett, В – фирмы Arko, С – фирмы Эффект. Тогда матрица Р примет вид: Р= В нашем примере начальные вероятности Zj (0) получены путем деления сумм по строкам (таблица 4) на общую сумму: Z1(0)= ZА(0)=1000/3000=0,333 Z2(0)= ZВ(0)=1400/3000=0,467 Z3(0)= ZС(0)=600/3000=0,2 и представляют собой удельные веса продаж отдельных видов товаров в периоде, предшествовавшем проведению наблюдения. Должны также выполняться следующие условия: 0≤Рij≤1; 0≤Zj(0)≤0; (i, j=1, 2…m); j=1 m Pij=1; j=1 m Zj 0 =1. Необходимо определить с какой вероятностью покупатель, купивший товар одного вида, через несколько покупок остановит свой выбор на другом виде продукции. При математическом описании такого процесса считаем, что совершение каждой следующей покупки – это шаг системы (t) из одного состояния (Аi), в котором она находилась в период времени (t-1), в другое - (Aj) в периоде t; t=1, 2, 3… В соответствиии с так называемым равенством Маркова, матрица вероятностей перехода за t шагов (Р(t)) равна исходной матрице Р, возведенной в степень t: Р(t)=Рt. (2) Логически формула 2 иллюстрируется следующим образом. Если сначала была совершена покупка изделия вида А (крем после бритья Gillett), то вероятность того, что во время второй покупки снова будет куплена продукция этого же вида равна 0,4, что при второй покупке будет куплено изделие вида В (крем после бритья Arko) равна 0,5, а вида С (крем Эффект) равна 0,1 (таблица 5). В то же время после совершения второй покупки, на третьей возникает возможность выбора опять из трех видов. Схематично вероятность перехода от первой покупки к другим представлениа на рисунке 1. Рис. 1 Иллюстрация переходов из состояния А во все возможные сосотояния за два шага. Как следует из приведекнного рисунка, вероятность покупки товара фирмы Gillett на втором шаге (во время третьей покупки) равна Р АА * Р АА + Вероятность покупки товара фирмы Arko на 2 –м шаге: Р АА * Р АВ + 0,6 Вероятность покупки товара фирмы Эффект на 2 –м шаге: Р АА * Р АС + Эти значения совпадают с первой строкой матрицы Р(2), вычисленной по формуле 2. Р 2 = Р 2 =Р•Р= 0,4 0,5 0,1 0,2 0,75 0,05 0,1 0,25 0,65 • 0,4 0,5 0,1 0,2 0,75 0,05 0,1 0,25 0,65 = Аналогично можно проиллюстрировать получение значений второй и третьей строк матрицы. Известно, что рано или поздно основная масса потребителей, переходя от покупки одного вида продукции к другому, и делая сравнения, остановится, начиная с определенного момента времени, на предпочтении одного вида продукции, если на систему до этого момента времени не сказывались внешние воздействия. В этом случае вероятности перехода от покупки крема фирмы Gillett к покупке этой же продукции; от покупки крема фирмы Arko к покупке крема Gillett; от покупки крема Эффект к покупке крема Эффект становятся одинаковыми. То же самое происходит с вероятностями перехода от А, В, С (Gillett, Arko, Эффект) к покупке крема фирмы Arko; от А, В, С (Gillett, Arko, Эффект) к покупке крема Эффект. Согласно теореме Маркова о предельных вероятностях, при количестве шагов, стремящихся к бесконечности, вероятности переходов перестают изменяться. Цепь Маркова входит в устойчивый режим, при этом имеет место равенство: Lim t→∞ Pij t = Pj * 3 где Pj* - предельная вероятность наступления события. j=1 m Pj * =1. Для определения времени (t), необходимого для стабилизации системы и предельной вероятности, удобно воспользоваться пошаговым возведением матрицы Р в степень. Результаты умножения представлены в таблице 6. Как только по строкам матрицы будут получены приближенно одинаковые значения (предельные вероятности), можно говорить о стабилизации поведения потребителей. Таблица 6. Обоснование времени стабилизации системы. Шаг (t) Формула расчета Результат 1 Р(1)=Р¹ 0,4 0,5 0,1 0,2 0,75 0,05 0,1 0,25 0,65 2 Р(2)=Р² 0,27 0,6 0,13 0,235 0,675 0,09 0,155 0,4 0,445 3 Р(3)=Р³ 0,241 0,6175 0,1415 0,238 0,64625 0,11575 0,1865 0,48875 0,32475 4 Р(4)=Р⁴ 0,23405 0,619 0,14695 0,236025 0,632625 0,13135 0,204825 0,541 0,254175 5 Р(5)=Р⁵ 0,232115 0,618013 0,149873 0,23407 0,625319 0,140611 0,215548 0,571706 0,212746 Обратимся к данным таблицы 4. Суммы по строкам показывают объемы сбыта по товарам А, В, С в периоде, предшествовавшем периоду проведения сбора статистических данных (нулевой шаг). В то же время эти цифры, деленные на общую сумму, дают значения матрицы – строки вероятностей начальных состояний Z(0)=(0,333 0,467 0,2) Суммы по столбцам показывают объемы сбыта на мини-рынке по видам продукции в первом периоде (на первом шаге процесса): крем Gillett (400+280+60)=740 штук крем Arko (500+1050+150)=1700 штук крем Эффект (100+70+390)=560 штук. Деление этих сумм на общую сумму дает распредеоение долей продаж по отдельным видам в первом периоде: доля продаж крема Gillett 740/3000=0,247; доля продаж крема Arko 1700/3000=0,567; доля продаж крема Эффект 560/3000=0,186. Эти значения (0,247 0,567 0,186) выражают матрицу – строку Z(1) безусловных вероятностей. Эти же значения могут быть получены умножением матрицы вероятностей начальных состояний Z(0)=( ) на матрицу вероятностей перехода Р Z(1)= Z(0)*Р: ZА(1)= 0,333*0,4+0,467*0,2+0,2*0,1=0,247 ZВ(1)= 0,333*0,5+0,467*0,75+0,2*0,25=0,567 ZС(1)= 0,333*0,1+0,467*0,05+0,2*0,65=0,186 Аналогично матрица – строка Z(t)=(Z1(t), Z2(t)…Zm(t)) безусловных вероятностей после t шагов марковсого процесса определяется соотношением: Z(t)=Z(0)*Рt. На втором шаге (на втором месяце): Z(2)=Z(0)*Р2=(0,231 0,595 0,174). Можно сказать, что во втром периоде в ассортиментной структуре продаж 23,1 % их должно приходиться на долю крема Gillett , 59,5 % на продажу крема Arko и 17,4 % - на продажу крема Эффект. В третьем месяце: Z(3)=Z(0)*Р3=(0,229 0,605 0,166). Для планирования объема продаж j-го вида продукции в периоде t необходимо умножить безусловную вероятность по этому виду продукции (Zj(t)) на общий объем рынка: V пр j t = V общ t * Zj t , где - планируемый объем продаж в t-ом периоде по j-му виду продукции; – общий объем рынка однородной продукции в натуральном или стоимостном выражении в t-ом периоде; –безусловная вероятность наступления события j в t-ом периоде. Найдем план продаж по месяцам, исходя из условия, что общий объем месячного рынка постоянен во времени и составляет 3600 тонн. Для первого месяца: =0,247*3600=888 т =0,567*3600=2040 т =0,186*3600=672 т Для второго месяца: =0,231*3600=830 т =0,595*3600=2142 т =0,174*3600=628 т Для третьего месяца: =0,229*3600=823 т =0,605*3600=2179 т =0,166*3600=598 т Для четвертого месяца: =0,229*3600=825 т =0,610*3600=2195 т =0,161*3600=580 т Для пятого месяца: =0,230*3600=827 т =0,612*3600=2204 т =0,158*3600=569 т В случае проведения рекламной кампании определим частоту перехода от потребления одного вида продукции к другому: Таблица 7. От покупки К покупке Сумма по строке Gillett Arko Эффект Gillett 148 518 74 740 Arko 119 1530 51 1700 Эффект 84 224 252 560 Сумма по столбцам 351 2272 377 3000 Далее определяем вероятность изменения покупательских предпочтений. Таблица 8. От покупки товара i К покупке товара j Gillett Arko Эффект Gillett 0,2 0,7 0,1 Arko 0,07 0,9 0,03 Эффект 0,15 0,4 0,45 Рассмотрим тенденцию продаж. Шаг (t) Обозначение Результат 3 Р³ 0,11265 0,78105 0,1063 0,1102 0,794525 0,095275 0,120225 0,700325 0,17945 4 Р⁴ 0,093149 0,82432 0,082532 0,091948 0,830323 0,07773 0,099985 0,78623 0,113785 5 Р⁵ 0,088712 0,840105 0,071184 0,088172 0,842746 0,069083 0,092101 0,823111 0,084789 Получим матрицы-строки безусловных вероятностей. Для третьего месяца: ZА(3)=0,333*0,113+0,467*0,110+0,2*0,120=0,113 ZВ(3)=0,333*0,781+0,467*0,795+0,2*0,700=0,771 ZС(3)=0,333*0,106+0,467*0,095+0,2*0,179=0,116 Для четвертого месяца: ZА(4)=0,333*0,093+0,467*0,091+0,2*0,100=0,094 ZВ(4)=0,333*0,824+0,467*0,830+0,2*0,786=0,820 ZС(4)=0,333*0,083+0,467*0,078+0,2*0,114=0,087 Для пятого месяца: ZА(5)=0,333*0,089+0,467*0,088+0,2*0,092=0,089 ZВ(5)=0,333*0,840+0,467*0,843+0,2*0,823=0,838 ZС(5)=0,333*0,071+0,467*0,069+0,2*0,085=0,073 Нацйдем план продаж по месяцам, исходя из условия, что общий объем месячного рынка постоянен во времени и составляет 3600 тонн (при проведении рекламной кампании). Для третьего месяца: =0,113*3600=407 т =0,771*3600=2776 т =0,116*3600=417 т Для четвертого месяца: =0,094*3600=338 т =0,820*3600=2950 т =0,087*3600=312 т Для пятого месяца: =0,089*3600=321 т =0,838*3600=3017 т =0,073*3600=263 т Находим общие продажи крема Arko. Без применения рекламы: Σб.р.=2040+2142+2179+2195+2204=10760 т С рекламой: Σрекл.=2040+2142+2776+2520+3017=12925 т Увеличение продаж в случае применения рекламы составляет: 12925-10760=2165 т Прибыль от этого увеличения составит: 2165*4000=8 780 000 у.е., что превышает расходы на рекламу на 5 780 000 у.е., то есть почти в 3 раза.

Найдите такой набор оборудования, который дает возможность максимально увеличить выпуск продукции

Составим математическую модель задачи. Предположим, что предприятие приобретает x1 комплектов оборудования 1-го вида и x2 комплектов оборудования 2-го вида. Тогда переменные x1 и x2 должны удовлетворять следующим неравенствам: 2x1 + x2 <=19/3 x1 + 3x2 <=10 (1) Если предприятие приобретает указанное количество оборудования, то общее увеличение выпуска продукции составит F=2x1 + 4x2 -> max (2) По своему экономическому содержанию переменные x1 и x2 могут принимать лишь целые неотрицательные значения т.е. x1, x2 >= 0 (3) x1, x2 – целые. (4) Таким образом приходим к следующей математической задаче: Найти максимальное значение линейной функции (2) при выполнении условий (1). Поскольку число неизвестных задачи равно двум, решение данной задачи можно найти, используя ее геометрическую интерпретацию. Для этого построим многоугольник OABC решений задачи из неравенств (1) Условию (4) ,т.е. условию целочисленности переменных удовлетворяют лишь 12 точек. Что бы найти точку, координаты которой определяют решение исходной задачи, заменим многоугольник OABC многоугольником OKEMNF, содержащим все допустимые точки с целочисленными координатами, и такими что координаты каждой из вершин являются целыми числами. Значит, если найти точку максимума функции (2) на многоугольнике OKEMNF, то координаты этой точки и определяют оптимальный план задачи. Для этого построим вектор С=(2,4) и прямую 2x1 + 4x2 = 12, проходящую через многоугольник решений OKEMNF. Построенную прямую передвигаем в направлении вектора С до тех пор, пока она не пройдет через последнюю общую точку ее с данным многоугольником. Координаты этой точки и определяют оптимальный план, а значение целевой функции в ней является максимальным. В данном случае искомой является точка Е(1,3) в которой целевая функция принимает максимальное значение Fmax = 14. Следовательно координаты точки Е определяют оптимальный план задачи. В соответствии с этим планом предприятию следует приобрести один комплект оборудования 1-го вида и три комплекта оборудоваеия 2-го вида. Это обеспечит предприятию, при имеющихся у него ограничениях на производственные площади и денежные средства максимальное увеличение выпуска продукции, равное 14 ед. в смену. ===================================================================== Результат можно получить другим способом, применив для решения задачи симплекс-медод. Сформулированную задачу перепишем так: найти максимальное значение функции F=2x1 + 4x2 при условиях 2x1 + x2 + х3 = 19/3 x1 + 3x2 + х4 = 10 (вводим дополнительные переменные - х3 и х4) Табл.1 Базис Р0 х1 х2 х3 х4 х3 10 1 3 1 0 х4 6.33 2 1 0 1 0 -2 -4 0 0 В строке индексов есть отрицательные значения (-4) . Пересчитываем таблицу1. Направляющий столбец х2, направляющая строка х3 Итерация 1. Табл.2 х2 3.333 0.333 1 0.333 0 х4 3 1.667 0 -1 1 13.333 -0.6667 0 1.333 0 В строке индексов есть отрицательные значения (-0.6667) . Пересчитываем таблицу2. Направляющий столбец х1, направляющая строка х4. Итерация 2 Табл.3 х2 2.73 0 1 0.532 -0.199 х1 1.799 1 0 -0.599 0.599 14.53 0 0 1.33 0.399 В строке индексов отрицательных значений нет. Оптимальный план Х1 = 1.7999 комплектов оборудования 1-го вида Х2 = 2.73 комплектов оборудования 2-го вида Увеличение выпуска продукции равно 14.53 ед. Поскольку по условию задачи х1 и х2 могут принимать только целые значения, округлим полученные результаты: X1= 1 комплектов оборудования 1-го вида X2=3 комплектов оборудования 2-го вида Увеличение выпуска продукции F = 2*1 + 4*3 = 14 ед. в смену. Полученный результат совпадает с первым (графическим) вариантом решения.

Определите величину экономии, которая достигается за счет планирования дефицита

Рассмотрим все затраты, связанные с этим товаром на протяжении года, при условии определенного размера заказа. Выберем произвольные партии заказов – 40, 90, 140, 190, 240, 290 и 340. Например, если 40 единиц товара заказывается в каждой партии, то затраты будут следующими: Затраты на приобретение = Количество товара, приобретенного за год * Стоимость единицы товара. Итак необходимо 2600 единиц товара в год. Стоимость единицы товара составляет 50 грн. Следовательно, затраты на приобретение: 2600*50=130000грн. Расходы на хранение запасов = Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения в год * Средняя стоимость запасов. Стоимость хранения в процентах от стоимости приобретения составляет 15%. Средний уровень составляет половину размера заказа. Таким образом, средний уровень запасов: 40/2 = 20. Отсюда средняя стоимость запасов: 20 * 50руб. = 1000 грн. Следовательно, расходы на хранение: 0,15*1000 = 150 грн . Расходы на подготовку заказа = Количество заказов в год * Расходы на подготовку одного заказа. Итак, ежегодная потребность составляет 2600 единиц, а размер заказа - 40 единиц. Таким образом, количество заказов в год равно 2600/40 = 65. Стоимость подготовки одного заказа составляет 50 грн. Отсюда расходы на подготовку заказа: 65 *50 грн. = 3250 грн. Отсюда получаем общую сумму затрат: Общие затраты = Стоимость приобретения + Расходы на хранение + Расходы на подготовку заказа = 130 000 + 150 + 3250 =133 400 грн. Размер заказа 'Средний уровень запасов'Затраты на приобретении 'Расходы на хранение'Расходы на подготовку заказа'Общие затраты'Себестоимость единицы 40'20'130 000'150.00'3 250.00'133 400.00'51.30 90'45'130 000'337.50'1 444.44'131 781.94'50.68 140'70'130 000'525.00'928.57'131 453.57'50.55 190'95'130 000'712.50'684.21'131 396.71'50.53 240'120'130 000'900.00'541.67'131 441.67'50.55 290'145'130 000'1 087.50'448.28'131 535.78'50.59 340'170'130 000'1 275.00'382.35'131 657.35'50.63 Минимальные затраты (и минимальная себестоимость) получаются при размере заказа в 190 единиц. Рис 1 «Стоимость запасов в зависимости от размера заказа» Как видно из рис 1. что затратные переменные изменяются в зависимости от размера заказа. По мере увеличения размера заказа расходы на хранение растут в прямой пропорции. Это как раз тот случай, когда чем больше размер заказа, тем больше уровень запасов, а по нашей модели расходы на хранение находятся в прямой зависимости от этой величины. И наоборот, расходы на подготовку заказа уменьшаются по мере увеличения размера заказа. Понятно, что чем больше единиц товара, тем меньше заказов необходимо сделать за указанный период. Итак, расходы, связанные с подготовкой и отсылкой заказов, снижаются при увеличении размера заказа. Минимальное значение общих затрат находятся в точке пересечения графиков расходов на подготовку заказа, как это показано на рис 1. Это значение соответствует оптимальному размеру заказа, который в нашем примере оказался равен 190 Значение оптимального размера заказа, можно рассчитать по математической формуле. Эта формула основывается на нахождении минимального значения исходя из общих затрат. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: λ - постоянный спрос в определенный период времени равный 2600 ед.в год ; P - цена приобретения единицы товара; с0 - расходы на подготовку одного заказа равные 50 грн; с1- расходы на хранение единицы товара за указанный период времени равные 0,15х50=7.5 грн. Имея эти переменные, рассчитываем значение оптимального размера заказа по следующей формуле: Оптимальный размер = у= √(2c0 λ /c1)= √(2х50х2600/7.5)= 186.19 ед. (округляем до 187 ед.) Формула оптимального размера заказа дает такой же результат, что и графический метод. Полученный результат как раз говорит о том, что для минимизации затрат размер заказа должен составить 187 единиц, при этом периодичность размещения заказов должна быть равна 2600/187 = 14 раз в год.

Способ заказа и контакты